Seien m≠-1 mod 3 und n=1 mod 3. Zeigen Sie: Das Polynom p(x)=x3+m x+n hat keine ganzzahlige Nullstelle.

Question

Aufgabe Elementare Zahlentheorie:

Seien $m$ und $n$ zwei ganze Zahlen mit $m \equiv-1 \bmod 3$ und $n \equiv 1 \bmod 3$.

Zeigen Sie: Das Polynom $p(x)=x^{3}+m x+n$ hat keine ganzzahlige Nullstelle.

Hinweis: Rechnen Sie in $\mathbb{Z} / 3$.

Answer 1

Hätte p eine ganzzahlige Nullstelle, dann wäre diese mod 3 auch eine Nullstelle.
Also schreibst du in Z/3    p(x)=x^3 - x  + 1       (also m=-1 und n=1)
Jetzt probieren wir die drei Elemente von Z/3 aus
p(0)=1
p(1)=1
p(2)=2 - 2 + 1 =1
Es gilt also nie p(x)=0, also gibt es keine Nullstellen.

Answer 2

Modulo $3$ gilt:

$$p(x)=x^3+mx+n\equiv x^3-x+1\equiv (x-1)\cdot x\cdot(x+1)+1\mod3,$$also $p(x)\equiv1\mod3$ für alle $x\in\mathbb Z$.

Für jedes $x\in\mathbb Z$ ist genau eine der Zahlen $x-1,x,x+1$ ist ein ganzzahliges Vielfaches von $3$ und damit auch deren Produkt. Modulo $3$ bleibt dann nur noch $p(x)\equiv1$ übrig.