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Hallo ich habe eine frage. Welche Induktion ist richtiger? Ich hab die auf die erste Art gelöst, wie man im Bild sehen kann.  Wie man im ersten Bild sehen kann

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Beweisen Sie mit vollständiger Induktion folgende Gleichung
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 \quad \forall n \in \mathbb{N}_{+}:=\{1,2,3, \ldots\} \)


Dabei ist für \( n \in \mathbb{N} \) der Ausdruck \( n ! \) definiert als \( n \cdot(n-1) \cdot \ldots \cdot 1 \) und \( 0 !:=1 \)

Beweis.

Induktionsanfang: Für \( n=1 \) gilt

\( \sum \limits_{k=1}^{1} k \cdot k !=1 \cdot 1 !=1=(2 \cdot 1)-1=2 !-1 \)


Induktionsschritt: Sei \( n \in N_{+} \) fest aber beliebig, sodass gilt
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k !=(n+1) !-1 $$

Dann gilt

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} k \cdot k ! &=(n+1) \cdot(n+1) !+\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot k ! \\ & \stackrel{I V}{=}(n+1) \cdot(n+1) !+(n+1) !-1 \\ &=(n+1) ! \cdot((n+1)+1))-1 \\ &=(n+1) ! \cdot(n+2)-1 \\ &=(n+2) !-1 \end{aligned} \)

 

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Es gibt nur richtig oder falsch; tertium non datur.

Also ist das obere falsch

Beides ist richtig.

Kann mir jemand das vergleichen. Ich versteh den Unterschied nicht. Ich seh nur den unterschied

der einzige Unterschied besteht darin, dass im Handschriftlichen eine Klammer aufgelöst und anschließend wieder zusammen gefasst wurde. Das ist alles.

Diese Operation war zwar unnötig, aber nicht falsch.

Super. Danke. Ist also beides richtig

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