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Hallo, ich will folgende Aufgabe lösen:

K, L ⊂ ℝn sind kompakte Mengen bezüglich der Standardmetrik. Man zeige, dass $$K+L:=\{k+l: k \in K, l \in L\}$$ eine kompakte Menge bezüglich der Standardmetrik ist.

Lösungsansatz:

Da die Mengen K, L und K+L Teilmengen von ℝn sind und wir bezüglich der Standardmetrik messen, reicht zum Nachweis der Kompaktheit das Kriterium "abgeschlossen und beschränkt".

Zur Abgeschlossenheit:

Wir nehmen an, dass cn eine in ℝn konvergente Folge mit cn ∈ K+L ist. Per Definition ist cn = kn+ln mit kn ∈ K und ln ∈ L. Da K und L kompakt sind, besitzen die Folgen kn und ln konvergente Teilfolgen. Sei ni eine Indizierung von ℕ, so dass kni und lni konvergieren. Dann gilt $$\lim _{i \rightarrow \infty} k_{n_{i}}=k \in K, \lim _{i \rightarrow \infty} l_{n_{i}}=l \in L.$$

Da cn nach Annahme konvergent ist, konvergiert jede Teilfolge gegen den selben Wert und somit gilt $$\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\lim _{i \rightarrow \infty} c_{n_{i}}=\lim _{i \rightarrow \infty} k_{n_{i}}+l_{n_{i}}=k+l \in K+L.$$

Somit konvergiert die Folge cn gegen einen Punkt, der in A+B liegt und ist abgeschlossen.


Zur Beschränktheit:

Hierbei tu ich mich schwer. Mein Ansatz wäre es, Konstante cK und cL zu nehmen, die K und L beschränken, also d(x, y) ≤ cK für alle x, y ∈ K und d(x, y) ≤ cL für alle x, y ∈ L.

Die würde ich dann zerlegen in x = xK+xL und y = yK+yL mit xK, yK ∈ K und xL, yL ∈ L.

Falls das richtig ist, würde ich d(x, y) ≤ |(yK+yL)-(xK+xL)| erhalten und versuchen, das in eine Form zu bringen, in der d(x, y) ≤ (cK+cL) ist, oder?

Oder ist mein Ansatz für die Beschränktheit komplett falsch?

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Beste Antwort

|(yK+yL)-(xK+xL)|

=  |(yK-xK) +(yL-xL)|

Dann noch die Dreiecksungleichung und du bist fertig.

Avatar von 287 k 🚀

könntest du mir eventuell bei der aufgabe nach der ich gefragt habe helfen? bin am verzweifeln... :-(

Du hattest doch vorgeschlagen:

Konstante cK und cL zu nehmen, die K und L beschränken,

also d(x, y) ≤ cK für alle x, y ∈ K    #
und d(x, y) ≤ cL für alle x, y ∈ L.    ##

Beschränktheit von K+L geht doch dann so:

Seien a,b aus K+L. Dann gibt es xa , xb ∈K und ya, yb ∈ L

mit a = xa+ya und b=xb + yb .

==>  d(a,b) = | b-a| = | xb + yb - (xa+ya)|

                              = | (xb - xa )+( yb -ya)|

wegen Dreiecksungleichung also

                          ≤  | (xb - xa )| +| ( yb -ya)|

                           = d(xb,xa) + d(yb,ya)

nach # und ##  gilt also 
                            ≤ cK + cL   .

Also K+L beschränkt.

Darum ging es doch, oder? Ich dachte, mein Tipp hätte dir

da schon auf die Sprünge geholfen.

Vielen Dank mathef, deine Antwort hat mir in der Tat schon auf die Sprünge geholfen!

matheimeimer ist jemand anderes, der anscheinend (auch unter fremden Posts) dringend nach einer Antwort zu suchen scheint ;)

ja bin ich...aber habe gottseidank schon hilfe bekommen

Mfg

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