Widerspruchsbeweis: Wähle ein Element aus I(A)\{K[t]·M} mit minimalem Rang.

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper, n ∈ N und A ∈ K^n,n _. Wir definieren I(A) = {p ∈ K[t] | p(A) = 0}.
Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Es gilt I(A) \ {0} ≠ ∅.
(b) Es gibt ein Polynom M ∈ I(A), M = m₀ + m₁t + . . . m_kt^k
 mit m_k = 1, sodass für
alle p ∈ I(A) \ {0} die Eigenschaft Grad(M) ≤ Grad(p) gilt.
(c) Es sei M wie in (b). Dann existiert für jedes p ∈ I(A) ein Polynom g ∈ K[t] mit
p = Mg.
Hinweis: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis und wählen Sie sich dazu ein Element
aus I(A)\{K[t]·M} mit minimalem Rang. Hierbei ist K[t]·M := {f ·M | f ∈ K[t]}.
Problem/Ansatz:

Ich hab Problem bei a und b.  Könnte Jemand mir helfen,

Answer 1

Hallo,

bei (a) stellt man fest, dass $K^{n \times n}$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $n^2$ ist. Die $n^2 + 1$ Elemente $A^0, \dots, A^{n^2}$ sind daher stets linear abhängig in $K^{n \times n}$. Das heißt, dass es nicht verschwindende Koeffizienten $a_i$ gibt, sodass $\sum_{i=0}^{n^2} a_i A^i = 0$ ist.

Wir wählen $p(t) = \sum_{i=0}^{n^2} a_i t^i$ (siehe Lemma 10.1 auf Seite 4 in https://www.minet.uni-jena.de/algebra/skripten/LinAlgAnaGeo2-Green-0…).

Bei (b) wählt man aus allen normierten Polynomen aus (a) jenes mit dem kleinsten Grad aus. Dies ist das Minimalpolynom von $A$.

Für (c) bemerkt man zunächst, dass $I(A)$ Annihilator von $A$ heißt. Zu zeigen ist, dass das Minimalpolynom $M$ Erzeuger von $I(A)$ ist.

Wir dividieren $p \in I(A)$ mit $\deg(p) \geq \deg(M)$ durch $M$ mit Rest $R$, wobei $\deg(R) < \deg(M)$ (oder $R = 0$) gilt:

$p = Mg + R$.

Wäre $R \neq 0$, so fände man $R = p - Mg \in I(A)$. Dies jedoch würde wegen $\deg(R) < \deg(M)$ der Minimalität des Grades von $M$ widersprechen. Somit ist $p = Mg$.

Grüße

Mister

Comments

t-A ist kein Element von K[t]. A ist eine n x n Matrix über K.

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Danke, guter Hinweis. Die Antwort ist jetzt nicht mehr dieselbe.