Jordansche Normalform: f aus End(V). X =(X-a)^5 *(X-b)^2 und M(f)=(X-a)^3 *(X-b)

Question

Sei f aus End(V) ein Endomorphismus , dessen charakteristisches und Minimal Polynom die Form

       Xf = ( X - a )^5 * ( X - b )^2 und M (f) = ( X - a )^3 * ( X - b )   , wobei M(f)   Minimal Polynom ist , a anders als b

Weiterhin sei Rg ( f - aIdv ) = 5

Bestimmen die Dimensionen von allen erweiterten Eigenräume . Wie lautet die Jordannormalform von f ?

Ich brauche die Lösung für Klausur  morgen , kann jemand mir helfen ?

Answer 1

Aus dem Minimalpolynom kann man entnehmen, dass der größte Jordanblock zum Eigenwert \( a \) die Größe \( 3 \) besitzt und zum Eigenwert \( b \) die Größe \( 1 \). Da \( b \) mit der algebraischen Vielfachheit von \( 2 \) auftritt, gibt es nur noch einen zusätzlichen Jordanblock der Größe \( 1 \) für den Eigenwert \( b \). Für den Eigenwert \( a \) bestehen jetzt noch zwei Möglichkeiten, einen Jordanblock der Größe \( 2 \) oder zwei Jordanblöcke der Größe \( 1 \).

Also sind folgende Möglichkeiten gegeben.

$$ \begin{pmatrix} a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b  \end{pmatrix} $$ und

$$ \begin{pmatrix} a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b  \end{pmatrix} $$