Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL mit AWB

Question

Das Anfangswertproblem

x¨(t) + 2x'(t) + 4x(t) = 0
beschreibt eine gedämpfte Schwingung (x: Auslenkung, v = ˙x: Geschwindigkeit).
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
(b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung für das Anfangswertproblem
x(0) = 1, x˙(0) = −1.

Problem/Ansatz: Ich habe keinen Ansatz womit ich diese Aufgabe lösen könnte. Habe noch andere  Aufgaben die so ähnlich sind.

Ich würde mich freuen wenn mir jemand eine Lösung schicken könnte damit ich die anderen Aufgaben dann alleine lösen kann.

Liebe Grüße

Angel

Answer 1

Hallo,

zu a)

Der Ansatz lautet:

x(t)= e^(λ t)λ

x'(t)=  λ e^(λ t)

x''(t)=  λ^2 e^(λ t)

---->in die DGL einsetzen (x(t) ,x'(t).x''(t) )

λ^2 e^(λ t) +2 λ e^(λ t) +4e^(λ t) =0

e^(λ t)( λ^2 +2 λ  +4)=0 |:  e^(λ t)  ist ≠ 0

---------->charakteristische Gleichung:

 λ^2 +2 λ +4=0

λ_1.2=-1 ±√(1-4)

λ_1.2=-1 ±√-3

λ_1.2=-1 ± i √3

z.B aus Tabelle:

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

(Seite 2, 1.Punkt, 3.Zeile in der Tabelle)

Lösung:

x(t)=C₁ e^(-t) cos(√3 *t) +C₂ e^(-t) sin(√3 *t)

zu b)

Einsetzen der beiden AWB in die Lösung und deren Ableitung.

x(t)=C₁ e^(-t) cos(√3 *t) +C₂ e^(-t) sin(√3 *t)

x' (t)= -C₁ e^(-t) (√(3) sin(√(3) t) + cos(√(3) t)) +C₂ e^(-t) (√(3) cos(√(3) t) - sin(√(3) t))

--------->

C₁=1

C₂=0

-------->spezielle Lösung:

x(t)= e^(-t) cos(√3 *t)