Zeigen Sie, dass für jedes x ∈ R mit |x| 1 gilt: A(x)/1-x

Question

Wir nehmen an, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe A(x)= $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n*x^n}$ mindestens 1 betrage und definieren dann für jedes $n ∈ N : A_n = \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k}$.

Zeigen Sie, dass für jedes x ∈ R mit |x| < 1 gilt:

$\frac{A(x)}{1-x}$ = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{A_n*x^n}$

Mein Ansatz:

$\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}}{1-x}$ = $\frac{ a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...}{1-x}$

Wisst muss ich hiernach weiter vorgehen, das x ausklammern?

Answer 1

Multipliziere

$$\left(\sum_{n=0}^{\infty} A_n x^n\right) (1-x)$$

aus und fasse es durch Index-Transformation zu einer Potenzreihe zusammen. Vergleiche mit der Potenzreihe für $A(x)$.