Question

Beweisen Sie, dass \( 12^{n}-22 n-1 \) für jede natürliche Zahl \( n \) durch 11 teilbar ist.

Kann man das mit der Vollständigen Induktion lösen?

Answer 1

12≡1 mod 11 mit n potenzieren

12ⁿ≡1 mod 11 1 subtrahieren

(1) 12ⁿ-1≡0 mod 11

(2) 22n≡0 mod11

(1)-(2) 12ⁿ-22n-1≡0 mod 11

Comments

Hübsch, aber überhaupt nicht als Antwort auf die eigentliche Frage  Kann man das mit der Vollständigen Induktion lösen?   geeignet.

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hahahah ;))))) Ich muss so lachen

Answer 2

Zu zeigen

12^n - 22·n - 1 ist durch 11 teilbar

Induktionsanfang n = 0

12^0 - 22·0 - 1 ist durch 11 teilbar
11 ist durch 11 teilbar → wahr

Induktionsschritt n → n + 1

12^(n + 1) - 22·(n + 1) - 1 ist durch 11 teilbar
12·12^n - 22·n - 23 ist durch 11 teilbar
12·12^n - 12·22·n + 11·22·n - 12 - 11 ist durch 11 teilbar
12·12^n - 12·22·n - 12 + 11·22·n - 11 ist durch 11 teilbar
12·(12^n - 22·n - 1) + 11·(22·n - 1) ist durch 11 teilbar

Beide Summanden sind durch 11 teilbar, da 12^n - 22·n - 1 durch die Induktionsannahme durch 11 teilbar ist und der zweite Summand direkt den Faktor 11 enthält.

Answer 3

Ja, das kann man mit vollständiger Induktion lösen.    :-)