Berechnung der 1. Ableitung der Funktionen mit Lösungsweg

Question

Aufgaben: Berechne die 1. Ableitung der folgenden 3 Funktionen:

1.)

$f(x)=\ln \left(\frac{a+b x}{a-b x}\right)$

2.)

$f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}}$

3.)

$f(x)=\ln \sqrt{\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1}}$

Problem/Ansatz: Ich komme bei diesen Aufgaben in meinen Übungsheft nicht auf die richtige Lösung, ist jemand so nett und kann mir bitte den Lösungsweg mit entsprechender Ableitungsregel/n aufzeigen?

Answer 1

Aloha :)

zu 1)

$$\left(\ln\left(\frac{\overbrace{a+bx}^{=u}}{\underbrace{a-bx}_{=v}}\right)\right)'=\underbrace{\frac{1}{\frac{a+bx}{a-bx}}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\frac{\overbrace{b}^{=u'}\overbrace{(a-bx)}^{=v}-\overbrace{(a+bx)}^{=u}\overbrace{(-b)}^{=v'}}{\underbrace{(a-bx)^2}_{=v^2}}}_{\text{innere}}$$$$=\frac{a-bx}{a+bx}\cdot\frac{ab-b^2x+ab+b^2x}{(a-bx)^2}=\frac{2ab}{(a+bx)(a-bx)}=\frac{2ab}{a^2-b^2x^2}$$

zu 2)

$$\left(\frac{\overbrace{\ln x}^{=u}}{\underbrace{\sqrt{x^2-1}}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\frac{1}{x}}^{=u'}\overbrace{\sqrt{x^2-1}}^{=v}-\overbrace{\ln x}^{=u}\cdot\overbrace{\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{2x}_{\text{innere}}}^{v'}}{\underbrace{x^2-1}_{=v^2}}=\frac{\frac{1}{x}\sqrt{x^2-1}-\frac{x\ln x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}$$$$=\frac{\frac{1}{x}(x^2-1)-x\ln x}{(x^2-1)^{3/2}}=\frac{x^2-1-x^2\ln x}{x(x^2-1)^{3/2}}=\frac{x^2(1-\ln x)-1}{x(x^2-1)^{3/2}}$$

zu 3)

$$\left(\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}\right)'=\frac{1}{2}\left(\ln\left(\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\right)\right)'=\frac{1}{2}\left(\ln\left(\frac{e^{2x}+1-1}{e^{2x}+1}\right)\right)'$$$$=\frac{1}{2}\left(\ln\left(1-\frac{1}{e^{2x}+1}\right)\right)'=\frac{1}{2}\underbrace{\frac{1}{1-\frac{1}{e^{2x}+1}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(-(e^{2x}+1)^{-1}\right)'}_{=\text{innere}}$$$$=\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}\left(\underbrace{(e^{2x}+1)^{-2}}_{=\text{äußere}}\cdot \underbrace{e^{2x}}_{=\text{innere 1}}\cdot\underbrace{2}_{=\text{innere 2}}\right)=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}}\frac{1}{(e^{2x}+1)^2}e^{2x}$$$$=\frac{1}{e^{2x}+1}$$

Comments

danke! das hat sehr geholfen es nachzuvollziehen! :)

Answer 2

Zu 1. Kettenregel:

äußere Funktion  f(u)=ln(u);   äußere Ableitung 1/u

innere Funktion  u=(a+bx)/(a-bx);  innere Ableitung u'=2ab/(bx-a)²

äußere Ableitung · innere Ableitung (u resubstituiert): (a-bx)/(a+bx)·2ab/(bx-a)²

=2ab/((a+bx)·(a-bx)).