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Es sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, \(n \in \mathbb{N}\) und \(A \in M(n\times n, \mathbb{K})\). Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:


a) \(A \cdot B = B \cdot A\) für alle \(B \in M(n \times n, \mathbb{K})\).


b) Es existiert ein \(λ \in \mathbb{K}\) mit \(A = λ\cdot E_n\), wobei \(E_n\) die n-dimensionale Einheitsmatrix ist.

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Die Rückrichtung ist hier die einfachste.

Hingegen ist die Hinrichtung ziemlich trickreich. Du kannst ja jede Matrix \(B\in \mathbb{K}^{n,n}\) als Linearkombination von Elementarmatrizen \(E_{ij}\in \mathbb{K}^{n,n}\) schreiben:

\(B=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}\cdot E_{ij}\).

Aus 1.) wissen wir also, dass zunächst folgendes gilt:

\(A\cdot B=A\cdot \Bigg(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}\cdot E_{ij}\Bigg)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}\cdot A\cdot E_{ij}\\\stackrel{1.)}{=}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}\cdot E_{ij}\cdot A=\Bigg(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n b_{ij}\cdot E_{ij}\Bigg)\cdot A=B\cdot A. \)

Es reicht also ,,nur'' \(A\cdot E_{ij}=E_{ij}\cdot A\) für alle \(i,j=1,...,n\) zu betrachten.

Wenn du zb mit \(E_{11}\) anfängst, dann erhältst du mit \(A\cdot E_{11}\) die erste Spalte von A und sonst nur 0. Bei \(E_{11}\cdot A\) bekommst du die erste Zeile von A und sonst nur 0. So kannst du für alle \(E_{kk}\) zeigen, dass \(A\) zunächst eine Diagonalmatrix sein muss, also die Gestalt \(A=\begin{pmatrix}a_{11} & & 0\\ & \ddots & \\0 & & a_{nn}\end{pmatrix}\)

hat. Multipliziere nun dein ,,neues" \(A\) mit einer beliebigen Elementarmatrix \(E_{ij}\neq E_{kk}\) und zeige damit, dass \(a_{11}=...=a_{nn}\) folgt. Damit hast du die Existenz für ein Skalar \(\lambda\in \mathbb{K}\) mit \(A=\lambda\cdot E_n\) bewiesen.

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