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Hallo, ich soll mir die Funktion $$f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y, z) \mapsto\left(\begin{array}{c} 3 x z+4 y z+2 x+3 y+2 z \\ 3 x+4 y z \end{array}\right)$$ anschauen und gucken, nach welchen Variablenpaaren sich f in einer Umgebung des Punkts (0,0,0) auflösen lässst. Gegebenenfalls soll die Auflösung berechnet werden.


Dazu habe ich zunächst den Gradienten berechnet mit $$\operatorname{grad} f(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 3z+2 & 4z+3 & 3x+4y+2 \\ 3 & 4z & 4y \end{array}\right)$$


Für den Satz über implizite Funktionen muss die jeweilige Teilmatrix für die Auflösung invertierbar
sein, also betrachte ich

$$\operatorname{grad} f(0, 0, 0)=\left(\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}\right)$$


Nun möchte ich gucken, welche Teilmatrizen invertierbar sind, aber ich fühle mich bei dieser Aufgabe generell äußerst unsicher. War der Weg bisher überhaupt richtig und wie müsste ich weiter machen?

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Hallo Jenny97,

bisher liegst du goldrichtig. Du musst nun nur noch, wie du sagst, die Teilmatrizen betrachten und schauen ob eben diese invertierbar sind. Es ist \(\frac{\partial f(0,0,0)}{\partial (x,y)}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\) und \(\frac{\partial f(0,0,0)}{\partial (y,z)}=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) und \(\frac{\partial f(0,0,0)}{\partial (x,z)}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\). Die Funktion ließe sich also nicht nach dem Variablenpaar \((y,z)\) auflösen, denn \(\det \frac{\partial f(0,0,0)}{\partial (y,z)}=\det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0\), jedoch sowohl nach \((x,z)\) als auch \((x,y)\).

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Super, vielen Dank!

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