Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen lösen?

Question

Aufgabe:

z² - 3z + 3 + i = 0

Problem/Ansatz:

!

Ich habe eine Lösung mit der p-q-Formel probiert und bin dann zu diesem Zwischenergebnis gekommen:

z_1,2 = 1,5 ± $\sqrt[]{ - 0,75 - i }$

Dann habe ich versucht, die "komplexe Zahl" unter der Wurzel zu lösen:

z = $\sqrt[]{ - 0,75 - i }$

z² = - 0,75 - i

z² = ( a + bi )² = a² - b² + 2abi

(I) a² - b² = - 0,75

(II) 2abi = -1

aus (II): b = - $\frac{1}{2a}$

in (I): a² - ( - $\frac{1}{2a}$ ) = - 0,75

    ...  a⁴ + 0,75a² - 0,25 = 0

Substitution: u = a²

... u₁ = 0,25     =>    a₁ = $\sqrt{0,25}$  = 0,5    =>   b₁ = -1

    u₂ = -1         =>   [ a₂ = $\sqrt{-1}$ ]   MÜSSTE MAN HIER NOCH LÖSEN???

Endergebnis:

z_1,2 = 1,5 ± ( 0,5 - i )

z₁ = 2 - i

z₂ = 1 + i

Ist das so korrekt?

Answer 1

dein Ansatz ist doch $z = a+ bi$ wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind. Die Lösung $a = \sqrt{-1} \in\mathbb{C}$ entfällt also.

Ansonsten ist deine Rechnung richtig, vergleiche mit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2+-+3z+%2B+3+%2B+i+%3D+0+