Beweisen Sie, dass das Polynom, irreduzibel ist.

Question

Beweisen Sie, dass das Polynom
$$ f(X)=5 X^{9}+15 X^{6}-45 X^{3}+15 \in \mathbb{Q}[X] $$
irreduzibel ist.

Answer 1

Hallo hp,

5 ist eine Einheit in ℚ, also ist

f irreduzibel <=> 1/5 * f irreduzibel

$$ \frac{1}{5} f = x^9 +3x^6-9x^3+3$$ ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten,

Nach dem Eisensteinkriterium (p=3) ist dieses Polynom irreduzibel in ℚ[x].

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

Comments

Ist das schon der ganze Beweis?

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Ja, sofern du das Eisensteinkriterium bereits hattest? Man sollte aber nochmal schnell die Bedingungen schriftlich überprüfen.

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Und wie stellt man die bedingungen fest?

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wie überprüft man die Bedingung?

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Die Bedingung ist doch:

Es existiert eine Primzahl p die

- Alle Koeffizienten außer dem Leitkoeffizienten teilt

- Das Absolutglied nicht quadratische teilt.

Also für p=3 erfüllt:

3 teilt nicht 1

3 teilt 3, -9, 3

3² teilt nicht 3

Answer 2

Schau dir mal folgendes Video an.

Dann dürftest du die Aufgabe locker lösen können.

Wenn nicht melde dich gerne wieder.

Video: Wann ist ein Polynom irreduzibel? (Substitution, Eisenstein-Kriterium und Reduktionskriterium)