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Beweisen Sie, dass das Polynom
$$ f(X)=5 X^{9}+15 X^{6}-45 X^{3}+15 \in \mathbb{Q}[X] $$
irreduzibel ist.

von

2 Antworten

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Hallo hp,

5 ist eine Einheit in ℚ, also ist

f irreduzibel <=> 1/5 * f irreduzibel

$$ \frac{1}{5} f = x^9 +3x^6-9x^3+3$$ ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten,

Nach dem Eisensteinkriterium (p=3) ist dieses Polynom irreduzibel in ℚ[x].

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

von 1,3 k

Ist das schon der ganze Beweis?

Ja, sofern du das Eisensteinkriterium bereits hattest? Man sollte aber nochmal schnell die Bedingungen schriftlich überprüfen.

Und wie stellt man die bedingungen fest?

wie überprüft man die Bedingung?

Die Bedingung ist doch:

Es existiert eine Primzahl p die

- Alle Koeffizienten außer dem Leitkoeffizienten teilt

- Das Absolutglied nicht quadratische teilt.

Also für p=3 erfüllt:

3 teilt nicht 1

3 teilt 3, -9, 3

32 teilt nicht 3

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Schau dir mal folgendes Video an.

Dann dürftest du die Aufgabe locker lösen können.

Wenn nicht melde dich gerne wieder.

Video: Wann ist ein Polynom irreduzibel? (Substitution, Eisenstein-Kriterium und Reduktionskriterium)

von 446 k 🚀

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