Differentialgleichung y`(x)=(y(x)-x)^2

Question

Aufgabe:  y'(x)=(y(x)-x)^2

ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Durch Substitution mit z=y-x erhalte ich:

z^2=z'+1

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) dx = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) dz/(z^2-1)

x-x₀ = 1/2 lnIz-1I - 1/2 lnIz+1I - 1/2 lnIz₀-1I + 1/2 lnIz₀+1I

2x-2x₀= lnI(z-1)/(z+1)I + lnI(z₀+1)/z₀-1)I

(e^2x)/(e^2x₀) = ((z-1)/(z+1)) + ((z₀+1)/Z₀-1))

Ab da bekomme ich es einfach nicht so umgesetllt, dass am Ende die Differentialgleichung erfüllt ist. Vielleicht wisst ihr ja weiter oder entdeckt Fehler, die ich gemacht habe.

Schonmal Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

$$\left.y'(x)=(\,y(x)-x\,)^2\quad\right|\quad z:=y-x\;\;\Rightarrow\;\;y=z+x$$$$\left.(z+x)'=(\,(z+x)-x\,)^2\quad\right|\quad\text{vereinfachen}$$$$\left.z'+1=z^2\quad\right|\quad-1\;\;;\;\;z'=\frac{dz}{dx}$$$$\left.\frac{dz}{dx}=z^2-1\quad\right|\quad\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{dx}{dz}=\frac{1}{z^2-1}=\frac{1/2}{z-1}-\frac{1/2}{z+1}\quad\right|\quad\cdot dz$$$$\left.dx=\left(\frac{1/2}{z-1}-\frac{1/2}{z+1}\right)dz\quad\right|\quad\text{integrieren mit Integrationskonstante \(c\)}$$$$\left.x+c=\frac{1}{2}\ln|z-1|-\frac{1}{2}\ln|z+1|\quad\right|\quad\text{zusammenfassen rechts}$$$$\left.x+c=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{z-1}{z+1}\right|\quad\right|\quad\cdot2$$$$\left.2(x+c)=\ln\left|\frac{z-1}{z+1}\right|\quad\right|\quad e^\cdots$$$$\left.e^{2(x+c)}=\frac{z-1}{z+1}=\frac{z+1-2}{z+1}=1-\frac{2}{z+1}\quad\right|\quad\text{umstellen, \(z\)-Term nach links}$$$$\left.\frac{2}{z+1}=1-e^{2(x+c)}\quad\right|\quad:2$$$$\left.\frac{1}{z+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{2(x+c)}\quad\right|\quad\text{Kehrwerte}$$$$\left.z+1=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{2(x+c)}}\quad\right|\quad-1$$$$\left.z=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{2(x+c)}}-1\quad\right|\quad-\frac{1}{2}e^{2(x+c)}=-\frac{1}{2}e^{2c}\,e^{2x}=C\cdot e^{2x}\;;\;C:=-\frac{1}{2}e^{2c}$$$$\left.z=\frac{1}{\frac{1}{2}+Ce^{2x}}-1\quad\right|\quad z=y-x$$$$\left.y-x=\frac{1}{\frac{1}{2}+Ce^{2x}}-1\quad\right|\quad+x$$$$\left.y(x)=\frac{1}{\frac{1}{2}+Ce^{2x}}+x-1\quad\right|\quad C=\text{const}$$Die Konstante \(C\) kann aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Comments

Vielen Dank, das sieht sehr logisch aus. :)

Answer 2

Hi,

um ein Differentialgleichung allgm zu lösen braucht es unbestimmte Integrale und keine Bestimmte, oder wie kommst Du da drauf?

x+c = 1/2 lnIz-1I - 1/2 lnIz+1I

So sieht das schon sehr gut aus. Nun noch nach z auflösen (am besten rechts das Logarithmengesetz anwenden und alle in einen Logarithmus schreiben, dann solltest Du relativ schnell vollends ans Ziel kommen)

Grüße

Comments

Ich weiß auch nicht so genau, wo ich das her habe. Da habe ich es mir wohl unnötig schwer gemacht. Vielen Dank dir!