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Aufgabe:



\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2}\right)^{n} \)



Problem/Ansatz: Hallo Ich komme am Ende dass was in der Klammern seht gegen 1 läuft aber wenn Ich den Graph von dem ganzen mit hoch n sieht es anders aus. Hat jemand ein Tipp, wie man es richtig lösen kann? Danke

von

Du weißt, dass `\(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\)?

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Aloha :)

Hier benötigst du den wichtigen Grenzwert:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$$Damit lautet der gesuchte Grenzwert:$$L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^2\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2n}\right)$$$$\phantom{L}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\left(1+\frac{4}{2n}\right)^{2n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{4}{2n}\right)^{2n}$$$$\phantom{L}=e^{-2}\cdot e^{4}=e^2$$

von 128 k 🚀

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