Der Graph stimmen mit der Funktion nicht überein?

Question

Aufgabe:

$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2}\right)^{n}$

Problem/Ansatz: Hallo Ich komme am Ende dass was in der Klammern seht gegen 1 läuft aber wenn Ich den Graph von dem ganzen mit hoch n sieht es anders aus. Hat jemand ein Tipp, wie man es richtig lösen kann? Danke

Comments

Du weißt, dass `$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$?

Answer 1

Aloha :)

Hier benötigst du den wichtigen Grenzwert:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$$Damit lautet der gesuchte Grenzwert:$$L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^2\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2n}\right)$$$$\phantom{L}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\left(1+\frac{4}{2n}\right)^{2n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{4}{2n}\right)^{2n}$$$$\phantom{L}=e^{-2}\cdot e^{4}=e^2$$