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Aufgabe:



limn((12n)(1+2n)2)n \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2}\right)^{n}



Problem/Ansatz: Hallo Ich komme am Ende dass was in der Klammern seht gegen 1 läuft aber wenn Ich den Graph von dem ganzen mit hoch n sieht es anders aus. Hat jemand ein Tipp, wie man es richtig lösen kann? Danke

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Du weißt, dass `limn(1+1n)n=e\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e?

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Aloha :)

Hier benötigst du den wichtigen Grenzwert:limn(1+xn)n=ex\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^xDamit lautet der gesuchte Grenzwert:L=limn((12n)(1+2n)2)n=limn((12n)n(1+2n)2n)L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^2\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2n}\right)L=limn((12n)n(1+42n)2n)=limn(12n)nlimn(1+42n)2n\phantom{L}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\left(1+\frac{4}{2n}\right)^{2n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{4}{2n}\right)^{2n}L=e2e4=e2\phantom{L}=e^{-2}\cdot e^{4}=e^2

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