Aufgabe:
limn→∞((1−2n)(1+2n)2)n \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2}\right)^{n} n→∞lim((1−n2)(1+n2)2)n
Problem/Ansatz: Hallo Ich komme am Ende dass was in der Klammern seht gegen 1 läuft aber wenn Ich den Graph von dem ganzen mit hoch n sieht es anders aus. Hat jemand ein Tipp, wie man es richtig lösen kann? Danke
Du weißt, dass `limn→∞(1+1n)n=e\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=en→∞lim(1+n1)n=e?
Aloha :)
Hier benötigst du den wichtigen Grenzwert:limn→∞(1+xn)n=ex\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^xn→∞lim(1+nx)n=exDamit lautet der gesuchte Grenzwert:L=limn→∞((1−2n)(1+2n)2)n=limn→∞((1−2n)n(1+2n)2n)L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^2\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\left(1+\frac{2}{n}\right)^{2n}\right)L=n→∞lim((1−n2)(1+n2)2)n=n→∞lim((1−n2)n(1+n2)2n)L=limn→∞((1−2n)n(1+42n)2n)=limn→∞(1−2n)n⋅limn→∞(1+42n)2n\phantom{L}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\left(1+\frac{4}{2n}\right)^{2n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{4}{2n}\right)^{2n}L=n→∞lim((1−n2)n(1+2n4)2n)=n→∞lim(1−n2)n⋅n→∞lim(1+2n4)2nL=e−2⋅e4=e2\phantom{L}=e^{-2}\cdot e^{4}=e^2L=e−2⋅e4=e2
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