84x kongruent zu 61 mod 317

Question

(Alle Zahlen sind relativ prim. Gibt es einen einfach weg an die Lösung zu kommen, ohne ca 30 mal + 317 zu rechnen?

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus

Answer 1

Wir bestimmen zunächst das Inverse zu $84$ modulo $317$.

Da ggT$(84,317)=1$ ist, kann man den euklidischen Algorithmus auf das Paar $84,317$
anwenden und erhält

$117\cdot 84-31\cdot 317=1$, d.h.
$84\cdot z\equiv 1$ mod $317$ hat als Lösung $z\equiv 117$ mod $317$.

Damit ist $x\equiv 61\cdot 117\equiv 163$ mod $317$.

Answer 2

Ich habe hier http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm benutzt.

Es soll die diophantische Gleichung  84x - 317y = 61  gelöst werden.

Das von Euler entwickelte Verfahren ist eng verwandt mit dem euklidischen Algorithmus.
Man betrachtet nur die jeweiligen Reste bei der Division durch einen der Koeffizienten, 
geeigneterweise den mit dem kleinsten Betrag, und reduziert die Reste dadurch solange, 
bis nur noch ein ganzzahliger Rest bleibt.

Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist x. Die Gleichung wird nach x umgeformt:

    84x = 61 + 317y

          61 + 317y 
    x = ———————————
              84

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen 
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                61 + 65y 
    x = 3y +  ——————————
                  84

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter a wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          61 + 65y 
    a = ——————————
            84

    84a = 61 + 65y


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist y. Die Gleichung wird nach y umgeformt:

    65y = -61 + 84a

          -61 + 84a 
    y = ———————————
              65

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen 
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

              -61 + 19a 
    y = a +  ———————————
                  65

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter b wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          -61 + 19a 
    b = ———————————
              65

    65b = -61 + 19a


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist a. Die Gleichung wird nach a umgeformt:

    19a = 61 + 65b

          61 + 65b 
    a = ——————————
            19

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen 
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                    4 + 8b 
    a = 3 + 3b +  ————————
                      19

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter c wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          4 + 8b 
    c = ————————
            19

    19c = 4 + 8b


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist b. Die Gleichung wird nach b umgeformt:

    8b = -4 + 19c

          -4 + 19c 
    b = ——————————
              8

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen 
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                -4 + 3c 
    b = 2c +  —————————
                  8

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter d wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          -4 + 3c 
    d = —————————
            8

    8d = -4 + 3c


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist c. Die Gleichung wird nach c umgeformt:

    3c = 4 + 8d

          4 + 8d 
    c = ————————
            3

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen 
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                    1 + 2d 
    c = 1 + 2d +  ————————
                      3

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter e wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          1 + 2d 
    e = ————————
            3

    3e = 1 + 2d


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist d. Die Gleichung wird nach d umgeformt:

    2d = -1 + 3e

          -1 + 3e 
    d = —————————
            2

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen 
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

              -1 + e 
    d = e +  ————————
                  2

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter f wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          -1 + e 
    f = ————————
            2

    2f = -1 + e


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist e. Die Gleichung wird nach e umgeformt:

    e = 1 + 2f

Nun ist auf der rechten Seite der Gleichung kein Bruch und keine der Variablen mehr 
enthalten. Durch Einsetzen in umgekehrter Reihenfolge werden nun in allen Gleichungen,
in denen eine Variable isoliert wurde, die anderen Variablen eliminiert.

Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für d:


          -1 + 3e      -1 + 3·(1 + 2f) 
  d  =  —————————  =  —————————————————  =  1 + 3f  
            2                2


Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für c:


          4 + 8d      4 + 8·(1 + 3f) 
  c  =  ————————  =  ————————————————  =  4 + 8f  
            3                3


Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für b:


          -4 + 19c      -4 + 19·(4 + 8f) 
  b  =  ——————————  =  ——————————————————  =  9 + 19f  
              8                  8


Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für a:


          61 + 65b      61 + 65·(9 + 19f) 
  a  =  ——————————  =  ———————————————————  =  34 + 65f  
            19                19


Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für y:


          -61 + 84a      -61 + 84·(34 + 65f) 
  y  =  ———————————  =  —————————————————————  =  43 + 84f  
              65                  65


Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für x:


          61 + 317y      61 + 317·(43 + 84f) 
  x  =  ———————————  =  —————————————————————  =  163 + 317f  
              84                  84



Damit hängen alle Variablen nur noch von freien Parametern ab, die unabhängig 
voneinander die Menge der ganzen Zahlen durchlaufen können:

    x = 163 + 317f
    y = 43 + 84f





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