Ich habe hier http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm benutzt.
Es soll die diophantische Gleichung 84x - 317y = 61 gelΓΆst werden.
Das von Euler entwickelte Verfahren ist eng verwandt mit dem euklidischen Algorithmus.
Man betrachtet nur die jeweiligen Reste bei der Division durch einen der Koeffizienten,
geeigneterweise den mit dem kleinsten Betrag, und reduziert die Reste dadurch solange,
bis nur noch ein ganzzahliger Rest bleibt.
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist x. Die Gleichung wird nach x umgeformt:
84x = 61 + 317y
61 + 317y
x = βββββββββββ
84
Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:
61 + 65y
x = 3y + ββββββββββ
84
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muΓ auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter a wird eingefΓΌhrt und dem Bruch gleichgesetzt:
61 + 65y
a = ββββββββββ
84
84a = 61 + 65y
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist y. Die Gleichung wird nach y umgeformt:
65y = -61 + 84a
-61 + 84a
y = βββββββββββ
65
Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:
-61 + 19a
y = a + βββββββββββ
65
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muΓ auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter b wird eingefΓΌhrt und dem Bruch gleichgesetzt:
-61 + 19a
b = βββββββββββ
65
65b = -61 + 19a
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist a. Die Gleichung wird nach a umgeformt:
19a = 61 + 65b
61 + 65b
a = ββββββββββ
19
Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:
4 + 8b
a = 3 + 3b + ββββββββ
19
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muΓ auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter c wird eingefΓΌhrt und dem Bruch gleichgesetzt:
4 + 8b
c = ββββββββ
19
19c = 4 + 8b
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist b. Die Gleichung wird nach b umgeformt:
8b = -4 + 19c
-4 + 19c
b = ββββββββββ
8
Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:
-4 + 3c
b = 2c + βββββββββ
8
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muΓ auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter d wird eingefΓΌhrt und dem Bruch gleichgesetzt:
-4 + 3c
d = βββββββββ
8
8d = -4 + 3c
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist c. Die Gleichung wird nach c umgeformt:
3c = 4 + 8d
4 + 8d
c = ββββββββ
3
Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:
1 + 2d
c = 1 + 2d + ββββββββ
3
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muΓ auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter e wird eingefΓΌhrt und dem Bruch gleichgesetzt:
1 + 2d
e = ββββββββ
3
3e = 1 + 2d
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist d. Die Gleichung wird nach d umgeformt:
2d = -1 + 3e
-1 + 3e
d = βββββββββ
2
Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:
-1 + e
d = e + ββββββββ
2
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muΓ auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter f wird eingefΓΌhrt und dem Bruch gleichgesetzt:
-1 + e
f = ββββββββ
2
2f = -1 + e
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist e. Die Gleichung wird nach e umgeformt:
e = 1 + 2f
Nun ist auf der rechten Seite der Gleichung kein Bruch und keine der Variablen mehr
enthalten. Durch Einsetzen in umgekehrter Reihenfolge werden nun in allen Gleichungen,
in denen eine Variable isoliert wurde, die anderen Variablen eliminiert.
Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung fΓΌr d:
-1 + 3e -1 + 3Β·(1 + 2f)
d = βββββββββ = βββββββββββββββββ = 1 + 3f
2 2
Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung fΓΌr c:
4 + 8d 4 + 8Β·(1 + 3f)
c = ββββββββ = ββββββββββββββββ = 4 + 8f
3 3
Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung fΓΌr b:
-4 + 19c -4 + 19Β·(4 + 8f)
b = ββββββββββ = ββββββββββββββββββ = 9 + 19f
8 8
Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung fΓΌr a:
61 + 65b 61 + 65Β·(9 + 19f)
a = ββββββββββ = βββββββββββββββββββ = 34 + 65f
19 19
Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung fΓΌr y:
-61 + 84a -61 + 84Β·(34 + 65f)
y = βββββββββββ = βββββββββββββββββββββ = 43 + 84f
65 65
Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung fΓΌr x:
61 + 317y 61 + 317Β·(43 + 84f)
x = βββββββββββ = βββββββββββββββββββββ = 163 + 317f
84 84
Damit hΓ€ngen alle Variablen nur noch von freien Parametern ab, die unabhΓ€ngig
voneinander die Menge der ganzen Zahlen durchlaufen kΓΆnnen:
x = 163 + 317f
y = 43 + 84f
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Javascript von Arndt BrΓΌnner