Grenzwert bestimmen mit der Regel de LHospital

Question

Aufgabe:

Wie zeige ich mit der Regel von Bernoulli / de L'Hospital, dass \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \dfrac{x}{\left(\log x\right)^2} = \infty \)? Und wie folgere ich daraus mit dem Minorantenkriterium, dass die Reihe \( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\dfrac{1}{\left(\log n\right)^2}} \) divergiert?

Answer 1

L'Hospital zweimal anwenden:

1. → 1/(2*log(x)*1/x)) = x/(2*log(x))

2. → 1/(2*1/x) = x/2 = oo fur x gg.oo

Answer 2

Der erste Teil deiner Frage wurde ja schon beantwortet.

Für den zweiten Teil gilt:

(x/log(x)^2)—> unendlich für x ggn unendlich dh steigt x für große x werte schneller an als log(x)^2, dh. betrachtet man jeweils 1/x und 1/ log(x)^2 so gilt 1/x strebt schneller gehen 0 also 1/log(x)^2.

DH man hat mit 1/x (harmonische reihe) eine divergente Minorante.

Ich hoffe ich konnte dir damit weiterhelfen!

LG