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Aufgabe:

(a) Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:


(i) (1+x)^α ≥1+αx für alle x,α ∈ ℝ mit x>-1 und α≥1.

(ii) \( \frac{x}{1+x} \)≤ln(1+X)≤x für alle x ∈ ℝ mit x≥0.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass die Reihe\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n=1} \)(\( \sqrt[n]{a+1} \)-\( \sqrt[n]{a} \))^2 für jedes a ∈ ℝ mit a>0 konvergiert.


Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir da jemand weiter helfen?

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Hallo, kann mir da jemand weiter helfen?

Vieeleicht hat der zweite Versuch mehr Erfolg als der erste.

2 Antworten

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a)

i) ist eine Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung... die könnte man mit Induktion zeigen und dann (vlt) mit der ableitung argumentieren

ii) Die zweite ungleichung kann man mit e^ln(1+x) ≤ e^x zeigen und die erste durch umschreiben, beide seiten mit x+1 multiplizieren ln zusammenziehen und dann den trick aus ii) für die zweite ungleichung anwenden... dann müsste es irgendwann dastehen.

b) \( \sqrt[n]{a} \) = 1 für n—> unendlich für jedes positives a.

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