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Aufgabe:

(a) Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:
(i) \( (1+x)^{\alpha} \geq 1+\alpha x \) für alle \( x, \alpha \in \mathbb{R} \) mit \( x>-1 \mid \) und \( \alpha \geq 1 \)
(ii) \( \frac{x}{1+x} \leq \ln (1+x) \leq x \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x \geq 0 \)
(b) Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a+1}-\sqrt[n]{a})^{2} \) für jedes \( a \in \mathbb{R} \) mit \( a>0 \) konvergiert.

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Betrachte die Funktion $$f(x)=\sqrt[n]{x}$$ im Intervall $$\left[a, a+1\right]$$

Da f stetig ist gibt es ein $$ξ\in \left(a, a+1\right)$$ mit

$$f'(ξ)=\frac{f(a+1)-f(a)}{a+1-1}=f(a+1)-f(a)$$.

Mit $$f'(x)=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}$$ ist dann

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{a+1}-\sqrt[n]{a})^{2} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} (f'(ξ))^2= \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n}\cdot ξ^{\frac {1}{n}-1})^2=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cdot (\frac{\sqrt[n]{ξ}}{ξ})^2 $$

Mit einer Fallunterscheidung ξ>1 und ξ<1 kannst du mit dem Majorantenkriterium zeihen, dass diese Reihe konvergiert.

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