Welche der folgenden Matrizen sind über ℚ, ℝ und ℂ diagonalisierbar, welche sind nicht diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Matrizen sind über ℚ, ℝ und ℂ diagonalisierbar, welche sind nicht diagonalisierbar?

\( A=\left(\begin{array}{cc}-3 & 4 \\ -1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ -2 & -1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc}-3 & 3 \\ 2 & -2\end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 3\end{array}\right) \)

Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen sollte. Ich weiß wie man 3x3 Matrizen diagonalisiert aber weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

Mein Ansatz ist es erst einmal die Eigenwerte zu berechnen. Jetzt weiß ich nur nicht wann eine Matrix diagonalisierbar ist und was für ein Unterschied die verschiedenen Zahlenmengen machen. Ich bin darüber bewusst, dass bei Komplexen Zahleb -1*-1 = i ist aber ich weiß nicht wie ich danach weiter rechnen soll.

Vielen Dank im voraus.

Answer 1

Nun, wie im R^3 auch...

D ist als symmetrische Matrix in R diagonalisierbar.

det(\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rr}-\lambda - 3&4\\-1&-\lambda + 1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}-\lambda - 3&1\\-2&-\lambda - 1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}-\lambda - 3&3\\2&-\lambda - 2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}-\lambda + 2&-1\\-1&-\lambda + 3\\\end{array}\right) \right\} =0 \))

\(\small \left\{ \left(\lambda + 1 \right)^{2}, \lambda^{2} + 4 \; \lambda + 5, \lambda \; \left(\lambda + 5 \right), \lambda^{2} - 5 \; \lambda + 5 \right\} =0 \)

\(\small \left\{  \left\{ \lambda = -1 \right\} , \left\{ \lambda = -2 + i, \lambda = -2 - i \right\} , \left\{ \lambda = -5, \lambda = 0 \right\} , \left\{ \lambda = \frac{1}{2} \; \left(-\sqrt{5} + 5 \right), \lambda = \frac{1}{2} \; \left(\sqrt{5} + 5 \right) \right\}  \right\} \)

DimEigenraum: n-Rang(A-λ E)

\(\small \left\{ (1), (1,1), (1,1), (1,1)\right\}\)

A: alg. Vielfachheit (2) ≠ geom Vielfachheit (1) DimEigenraum ===> nicht diag.

B,C;D alg. Vielfachheit = geom Vielfachheit ===> diag.

Comments

Diagonalisierbarkeit hängt nicht vom zugrunde liegenden Körper ab?