Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen auf ganz ℝ differenzierbar sind, und bestimmen Sie ihre Ableitungen:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen auf ganz ℝ differenzierbar sind, und bestimmen Sie ihre Ableitungen:

(a) f(x)=|x|^(3/2)

(b) f(x)= { xe^(-1/x²) , falls x≠0

              0, falls x=0

Problem/Ansatz:

Hallo, ich kann diese Aufgabe nicht lösen,

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die Funktionen auf ganz ℝ differenzierbar sind und bestimmen Sie ihre Ableitungen

Stichworte: analysis

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbar sind, und bestimmen Sie ihre Ableitungen:

(i) $f(x)=|x|^{3 / 2}$

(ii) $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x e^{-1 / x^{2}}, & \text { falls } x \neq 0 \\ 0, & \text { falls } x=0\end{array}\right.$

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%7C+%5E%283%2F2%29+

Text erkannt:

Derivative:
$$\frac{d}{d x}\left(|x|^{3 / 2}\right)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{3 x}{2 \sqrt{|x|}} & x \neq 0 \\ 0 & \text { (otherwise) } \end{array}\right.$$
(assuming a function from reals to reals)

Wenn auf ganz ℝ die Ableitung von berechnet werden kann und reell ist, ist f(x) differenzierbar auf ℝ. Oder nicht?

Comments

Es geht darum, die Aussage $"0\quad\text{(otherwise)}"$ stichhaltig zu begründen.

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"Wenn auf ganz ℝ die Ableitung von berechnet werden kann und reell ist, ist f(x) differenzierbar auf ℝ."

Sollte man noch keine Ableitungsregeln haben, muss man das anders begründen. Z.B. über die Definition der Ableitung.

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Wie willst du es denn hier mit Ableitungsregeln begründen?

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Für x≠0 genügen die Ableitungsregeln um die Ableitung zu berechnen.

Answer 2

Vorschlag zur Diskussion zu (i): Differenzierbarkeit an der Stelle x=0: $$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\left|x\right|^{3/2}-0}{x-0} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\left|x\right|^{3/2}}{\:\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|} = \lim\limits_{x\to 0} \:\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|^{1/2} = 0 = f'(0)$$ Die Rechnung macht keinen Gebrauch von der Ableitbarkeit von f außerhalb von x=0. Dort ist f als Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen allerdings sicher differenzierbar und es ergibt sich als Ableitungsfunktion: $$f'(x) = \dfrac 32\cdot\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|^{1/2}$$

Answer 3

Eine Betragsfunktion
f ( x ) = |x| ³/2
a.) für x ≥ 0 gilt f ( x ) = x ^(3/2)
b.) für x < 0 gilt f ( x ) = x ^(3/2) * (-1)

a.) f ´( x ) = 3/2 * x ^ 1/2
b.) f ´( x ) = (  minus 3/2 ) * x ^(1/2)

lim x-> 0(-) [ (  minus 3/2 ) * x ^(1/2) ] = 0
x = 0 [ 3/2 * x ^(1/2) ] = 0

Die Funktion ist an der Nahtstelle zwischen
den Teilfunktionen differenzierbar.

Comments

Meinst du das allen Ernstes?

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@Spacko: Ich fürchte: Ja.

Den richtigen Ableitungsstrich zu benutzen, scheint ihm auch nicht gelingen zu wollen...

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Die erste Ableitung ist

x kommt nur als x² vor

iim x -> 0(-) oder lim x -> 0(+) ist eingesetzt
daher wurscht. Der Funktionswert ist
derselbe.
Die Steigung ist dieselbe

Answer 4

Vorschlag zu a): Differenzierbarkeit an der Stelle x=0: $$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\left|x\right|^{3/2}-0}{x-0} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\left|x\right|^{3/2}}{\:\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|} = \lim\limits_{x\to 0} \:\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|^{1/2} = 0 = f'(0)$$ Die Rechnung macht keinen Gebrauch von der Ableitbarkeit von f außerhalb von x=0. Dort ist f als Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen allerdings sicher differenzierbar und es ergibt sich als Ableitungsfunktion: $$f'(x) = \dfrac 32\cdot\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|^{1/2}$$