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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen auf ganz ℝ differenzierbar sind, und bestimmen Sie ihre Ableitungen:

(a) f(x)=|x|^(3/2)

(b) f(x)= { xe^(-1/x^2) , falls x≠0

              0, falls x=0


Problem/Ansatz:

Hallo, ich kann diese Aufgabe nicht lösen, kann mir jemand helfen?


von

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass die Funktionen auf ganz ℝ differenzierbar sind und bestimmen Sie ihre Ableitungen

Stichworte: analysis

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen auf ganz \( \mathbb{R} \) differenzierbar sind, und bestimmen Sie ihre Ableitungen:

(i) \( f(x)=|x|^{3 / 2} \)

(ii) \( f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x e^{-1 / x^{2}}, & \text { falls } x \neq 0 \\ 0, & \text { falls } x=0\end{array}\right. \)

4 Antworten

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%7C+%5E%283%2F2%29+

Skärmavbild 2020-07-13 kl. 21.14.44.png

Text erkannt:

Derivative:
$$ \frac{d}{d x}\left(|x|^{3 / 2}\right)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{3 x}{2 \sqrt{|x|}} & x \neq 0 \\ 0 & \text { (otherwise) } \end{array}\right. $$
(assuming a function from reals to reals)

Wenn auf ganz ℝ die Ableitung von berechnet werden kann und reell ist, ist f(x) differenzierbar auf ℝ. Oder nicht?

von 160 k 🚀

Es geht darum, die Aussage \("0\quad\text{(otherwise)}"\) stichhaltig zu begründen.

"Wenn auf ganz ℝ die Ableitung von berechnet werden kann und reell ist, ist f(x) differenzierbar auf ℝ."

Sollte man noch keine Ableitungsregeln haben, muss man das anders begründen. Z.B. über die Definition der Ableitung.

Wie willst du es denn hier mit Ableitungsregeln begründen?

Für x≠0 genügen die Ableitungsregeln um die Ableitung zu berechnen.

+1 Daumen

Vorschlag zur Diskussion zu (i): Differenzierbarkeit an der Stelle x=0: $$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\left|x\right|^{3/2}-0}{x-0} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\left|x\right|^{3/2}}{\:\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|} = \lim\limits_{x\to 0} \:\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|^{1/2} = 0 = f'(0)$$ Die Rechnung macht keinen Gebrauch von der Ableitbarkeit von f außerhalb von x=0. Dort ist f als Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen allerdings sicher differenzierbar und es ergibt sich als Ableitungsfunktion: $$f'(x) = \dfrac 32\cdot\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|^{1/2}$$

von 19 k
0 Daumen

Eine Betragsfunktion
f ( x ) = |x| ^3/2
a.) für x ≥ 0 gilt f ( x ) = x ^(3/2)
b.) für x < 0 gilt f ( x ) = x ^(3/2) * (-1)

a.) f ´( x ) = 3/2 * x ^ 1/2
b.) f ´( x ) = (  minus 3/2 ) * x ^(1/2)

lim x-> 0(-) [ (  minus 3/2 ) * x ^(1/2) ] = 0
x = 0 [ 3/2 * x ^(1/2) ] = 0

Die Funktion ist an der Nahtstelle zwischen
den Teilfunktionen differenzierbar.

von 99 k 🚀

Meinst du das allen Ernstes?

@Spacko: Ich fürchte: Ja.

Den richtigen Ableitungsstrich zu benutzen, scheint ihm auch nicht gelingen zu wollen...

Die erste Ableitung ist

gm-239.JPG

x kommt nur als x^2 vor

iim x -> 0(-) oder lim x -> 0(+) ist eingesetzt
daher wurscht. Der Funktionswert ist
derselbe.
Die Steigung ist dieselbe

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Vorschlag zu a): Differenzierbarkeit an der Stelle x=0: $$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\left|x\right|^{3/2}-0}{x-0} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\left|x\right|^{3/2}}{\:\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|} = \lim\limits_{x\to 0} \:\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|^{1/2} = 0 = f'(0)$$ Die Rechnung macht keinen Gebrauch von der Ableitbarkeit von f außerhalb von x=0. Dort ist f als Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen allerdings sicher differenzierbar und es ergibt sich als Ableitungsfunktion: $$f'(x) = \dfrac 32\cdot\operatorname{sign}(x)\cdot \left|x\right|^{1/2}$$

von 19 k

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