Gebrochene Funktion gegen unendlich

Question

Aufgabe:

f(x) = 2x^2/x+2, x gegen +unendlich

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Lösungswege und möchte wissen, ob beide korrekt sind:

1) 2x^2/x+2 = x * 2x/x+2 hier hab ich einfach das x mit dem anderen gekürzt und bleibt 2/x+2 und das geht immer gegen unendlich.

2) hier habe ich die Polynomdivision angewendet und kam auf 2x - 4 + 8/x+2 (mit Rest) der Restterm geht wie zusehen gegen unendlich und der Ausdruck 2x-4 läuft bei immer größer werdende Zahl(für x eingesetzt) auch gegen Null, was bedeutet unendlich + unendlich = unendlich.

Sind beide Wege richtig ? Oder nur einer davon ? Oder gar keiner ?

Answer 1

Zuerst einmal:
$$\text{Meinst du (vermutlich reell definiert) } f(x)=\frac{2x^2}{x+2} \text{ oder } f(x)=\frac{2x^2}{x}+2?$$
Zu 1.) Bei beiden Fällen bleibt nach dem "Kürzen" nicht 2/x+2 (geht übrigens in diesem Kontext auch nicht gegen unendlich).
Zu 2.) Hier vermute ich, dass du ersteren Fall meinst. Die Polynomdivision ist zwar korrekt (wenn die Klammerung beachtet worden wäre), aber der Term 8/(x+2) geht hier gegen 0, der Term 2x-4 geht in diesem Kontext nicht gegen 0, sondern gegen unendlich.
Die Formulierung "unendlich plus unendlich = unendlich" ist fragwürdig und mathematisch gesehen mit sehr viel Vorsicht zu genießen (und zu vermeiden).

Comments

Reell definiert 2x^2/x+2

Wenn man das x vor den Bruch zieht dann hat man x*2x/x+2 dann kürzen sich doch die x oder nicht ? Weil das ein Produkt ist.

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"Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen."

Wenn du unbedingt \(\frac{2x^2}{x+2}\) mit x kürzen willst (also Zähler und Nenner durch x teilen willst), erhältst du  \(\frac{2x}{1+\frac{2}{x}}\)

Answer 2

f ( x ) = (2x^2) / (x+2)

lim x -> + ∞ [ (2x^2) / (x+2) ]
Wenn x -> + ∞ geht dann wird x + 2 zu x
Die 2 spielt keine Rolle mehr
(2x^2) / x | kürzen
2x
lim x -> + ∞ [ 2x ] = ∞