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Aufgabe:

Gegeben: (ex-3)/(x2) das ist ein bruch

Gesucht: Lim x->-∞ von f(x) sowie lim x->0 von f(x). Dazu Bild(f).

Problem/Ansatz: ich brauche großzügige Hilfe zwinker..


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\( \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{x-3}}{x^2} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^{x-3}} =0\)

\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x-3}}{x^2} →∞\)

Unbenannt.JPGUnbenannt.JPG

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Korrigierst du deinen Unfug selbst?

Ach so: Nachgereichte "Herleitung" in Form von zwei Bildchen...


Auch wenn die Ergebnisse stimmen mögen...

\( \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{x-3}}{x^2} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^{x-3}} \)  ist sehr irreführend.

Danke für die Antwort. Was ist denn das Bild(f)? Ist es bei deiner Antwort bei?

Kannst du die zweite Zeile erklären? Wie kann ich die Divergenz begründen? Ich bin bei x gegen 0 noch ungeübt

\( \lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{x-3}}{x^2} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^{x-3}} \)


Kann man einfach das Vorzeichen beim limes ändern und der Grenzwert vom Kehrwert gilt dann für voriges?

Nö, kann man nicht.

Korrigierst du deinen Unfug selbst?
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Bei \( \lim\limits_{x\to0} \frac{e^{x-3}}{x^2}\) sollte die Sache klar sein. Der Zähler geht gegen \( e^{x-3}\) und ist somit gegen eine konkrete positive Zahl. Der Nenner geht gegen 0.

Also geht der Bruch gegen +∞ oder gegen -∞.

Da der Nenner aber auch für jedes x≠0 positiv ist, bleibt der gesamte Bruch positiv, und das Ergebnis ist +∞.

Wenn ihr das schon hattet, kannst du für den anderen Grenzwert L'Hospital verwenden.

Ansonsten kann man den unsauberen Versuch von Moliets wie folgt korrigieren:

\( \lim\limits_{x\to-\infty} \frac{e^{x-3}}{x^2}\)=\( \lim\limits_{-x\to\infty} \frac{e^{x-3}}{x^2}\)=\( \lim\limits_{-x\to\infty} \frac{e^{-(-x)-3}}{(-x)^2}\)=\( \lim\limits_{-x\to\infty} \frac{e^{-(-x+3)}}{(-x)^2}\)=\( \lim\limits_{-x\to\infty} \frac{1}{(-x)^2e^{(-x+3)}}\).

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Um die Bild- bzw. Wertemenge zu bestimmen, kann man die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereiches und die Extrempunkte bestimmen.

f(x) = e^(x - 3)/x^2

Da Zähler und Nenner des Bruches e^(x - 3)/x^2 im Definitionsbereich immer positiv sind, ist auch der Wert des Bruches immer positiv.

lim (x → -∞) f(x) = 0^{+}

lim (x → 0) f(x) = ∞ (bräuchte man hier nicht, weil auch der Grenzwert für x gegen unendlich, gegen unendlich geht)

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Damit hat die Funktion eine größte untere Schranke bei 0 und die Funktion ist nach oben unbeschränkt. Damit liegen die Funktionswerte im Intervall (0 ; ∞).

Bild(f) = ]0 ; ∞[ = (0 ; ∞)

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mit L'Hospital (zweimal angewendet):

-e^(-x-3)//2x)  -> e^(-x-3)/2 

Der Zähler geht gg. oo -> lim = oo für x-> -oo

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