Aloha :)
Die gegenene Achtelkugel kannst du in Kugelkoordinaten wie folgt abtasten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\,\cos\varphi\sin\vartheta\\r\,\sin\varphi\sin\vartheta\\r\,\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\;\;;\;\;\varphi\in\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]\;\;;\;\;\vartheta\in\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$$Mit dem Volumenelement \(dV=r^2\,\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\) erhalten wir die Masse:
$$M=\int\limits_V\rho(\vec r)\,dV=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,3\,\underbrace{r\cos\varphi\sin\vartheta}_{=x}\,\underbrace{r\,\cos\vartheta}_{=z}\;r^2\,\sin\vartheta$$$$\phantom{M}=3\int\limits_0^2r^4\,dr\int\limits_0^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}\sin^2\vartheta\,\cos\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom{M}=3\cdot\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^2\cdot\left[\sin\varphi\right]_0^{\pi/2}\cdot\left[\frac{1}{3}\sin^3\vartheta\right]_0^{\pi/2}=\left[\frac{2^5}{5}-0\right]\cdot\left[1-0\right]\cdot\left[1^3-0\right]=\frac{32}{5}$$
