Aloha :)(1+t2)y′′+2ty′=t3Wir folgen dem Tipp und lösen die homogene DGL mittels der Substitution u0 : =y′:(1+t2)u0′+2tu0=0∣∣∣⋅u0⋅(1+t2)1u0u0′+1+t22t=0∣∣∣∣∣integrieren mit c1=constln∣u0∣+ln(1+t2)+c1=0∣∣∣−ln(1+t2)−c1ln∣u0∣=−ln(1+t2)−c1∣∣∣e⋯u0=e−ln(1+t2)−c1=eln(1+t2)1e−c1=1+t2c2∣∣∣∣∣c2 : =e−c1>0;c2=const
Wir variieren die "Konstante" c2=c2(t), um die inhomogene Gleichung zu lösen:t3=!(1+t2)⋅(1+t2c2(t))′+2t1+t2c2(t)t3=(1+t2)⋅((1+t2)2c2′(t)⋅(1+t2)−c2(t)⋅2t)+2t1+t2c2(t)=c2′(t)⇒c2(t)=4t4+c3;c3=constDamit lautet die Lösung der inhomognen DGL:u(t)=1+t2c2(t)=1+t24t4+c3=4−1⋅1+t2−t4+1+t2c3u(t)=−41(1+t21−t4−1+t21)+1+t2c3u(t)=−41(1+t2(1−t2)(1+t2)−1+t21)+1+t2c3u(t)=−41(1−t2−1+t21)+1+t2c3=4t2−1+1+t21(c3+41)Das können wir nun leicht zur gesuchten Lösung integrieren:
y(t)=∫u(t)dt=43t3−t+(c3+41)arctan(t)+c4y(t)=12t3−4t+(c3+41)arctan(t)+c4Die beiden Konstanten c3 und c4 müssen aus den Randbedingungen bestimmt werden.