0 Daumen
618 Aufrufe

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
(1+t2)y+2ty=t3 \left(1+t^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}=t^{3}
Hinweis: Substitution y : =u y^{\prime}:=u

kann jemand erklären, wie man diese Frage durch Substitution löst?

Avatar von

Ist diese Frage auch von dir? https://www.mathelounge.de/744471/bestimmen-sie-die-losung-der-diffe… Genügt euch die Lösung von einer der beiden Gleichungen?

Gegenseitige Hilfe möglich?

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)(1+t2)y+2ty=t3(1+t^2)y''+2ty'=t^3Wir folgen dem Tipp und lösen die homogene DGL mittels der Substitution u0 : =yu_0:=y':(1+t2)u0+2tu0=01u0(1+t2)\left.(1+t^2)u'_0+2t\,u_0=0\quad\right|\quad \cdot\frac{1}{u_0\cdot(1+t^2)}u0u0+2t1+t2=0integrieren mit c1=const\left.\frac{u'_0}{u_0}+\frac{2t}{1+t^2}=0\quad\right|\quad\text{integrieren mit \(c_1=\)const}lnu0+ln(1+t2)+c1=0ln(1+t2)c1\left.\ln|u_0|+\ln(1+t^2)+c_1=0\quad\right|\quad -\ln(1+t^2)-c_1lnu0=ln(1+t2)c1e\left.\ln|u_0|=-\ln(1+t^2)-c_1\quad\right|\quad e^{\cdots}u0=eln(1+t2)c1=1eln(1+t2)ec1=c21+t2c2 : =ec1>0  ;  c2=const\left.u_0=e^{-\ln(1+t^2)-c_1}=\frac{1}{e^{\ln(1+t^2)}}\,e^{-c_1}=\frac{c_2}{1+t^2}\quad\right|\quad c_2:=e^{-c_1}>0\;;\;c_2=\text{const}

Wir variieren die "Konstante" c2=c2(t)c_2=c_2(t), um die inhomogene Gleichung zu lösen:t3=!(1+t2)(c2(t)1+t2)+2tc2(t)1+t2t^3\stackrel{!}{=}(1+t^2)\cdot\left(\frac{c_2(t)}{1+t^2}\right)'+2t\,\frac{c_2(t)}{1+t^2}t3=(1+t2)(c2(t)(1+t2)c2(t)2t(1+t2)2)+2tc2(t)1+t2=c2(t)\phantom{t^3}=(1+t^2)\cdot\left(\frac{c_2'(t)\cdot(1+t^2)-c_2(t)\cdot2t}{(1+t^2)^2}\right)+2t\,\frac{c_2(t)}{1+t^2}=c_2'(t)c2(t)=t44+c3;c3=const\Rightarrow\quad c_2(t)=\frac{t^4}{4}+c_3\quad;\quad c_3=\text{const}Damit lautet die Lösung der inhomognen DGL:u(t)=c2(t)1+t2=t44+c31+t2=14t41+t2+c31+t2u(t)=\frac{c_2(t)}{1+t^2}=\frac{\frac{t^4}{4}+c_3}{1+t^2}=\frac{-1}{4}\cdot\frac{-t^4}{1+t^2}+\frac{c_3}{1+t^2}u(t)=14(1t41+t211+t2)+c31+t2\phantom{u(t)}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1-t^4}{1+t^2}-\frac{1}{1+t^2}\right)+\frac{c_3}{1+t^2}u(t)=14((1t2)(1+t2)1+t211+t2)+c31+t2\phantom{u(t)}=-\frac{1}{4}\left(\frac{(1-t^2)(1+t^2)}{1+t^2}-\frac{1}{1+t^2}\right)+\frac{c_3}{1+t^2}u(t)=14(1t211+t2)+c31+t2=t214+11+t2(c3+14)\phantom{u(t)}=-\frac{1}{4}\left(1-t^2-\frac{1}{1+t^2}\right)+\frac{c_3}{1+t^2}=\frac{t^2-1}{4}+\frac{1}{1+t^2}\left(c_3+\frac{1}{4}\right)Das können wir nun leicht zur gesuchten Lösung integrieren:

y(t)=u(t)dt=t33t4+(c3+14)arctan(t)+c4y(t)=\int u(t)\,dt=\frac{\frac{t^3}{3}-t}{4}+\left(c_3+\frac{1}{4}\right)\arctan (t)+c_4y(t)=t312t4+(c3+14)arctan(t)+c4\phantom{y(t)}=\frac{t^3}{12}-\frac{t}{4}+\left(c_3+\frac{1}{4}\right)\arctan (t)+c_4Die beiden Konstanten c3c_3 und c4c_4 müssen aus den Randbedingungen bestimmt werden.

Avatar von 153 k 🚀
0 Daumen

Hallo,

u= y'

u' = y''

Setze das in die DGL ein.

Avatar von 121 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage