Partition einer Zahl mittels linearer Kongruenz lösen

Question

In der methodisch geordneten Aufgabensammlung aus dem Jahr 1880 befindet sich folgende Aufgabe:

Die Zahl 444 ist in zwei Teile zu zerlegen, so dass der erste um 4 vermehrt durch 11 und der zweite um 7 vermindert durch 17 teilbar ist.

Um diese Aufgabe zu lösen, stellt Kurt folgende Gleichung auf: $$444=(11 x-4)+(17 y+7)$$ wobei $x, y \in \mathbb{Z}$ gelten soll.

a) Begründen Sie, dass die von Kurt aufgestellte Gleichung einen sinnvollen Ansatz zur Lösung der ursprünglichen Aufgabe darstellt. Zeigen Sie, dass diese Gleichung in die lineare Kongruenz $$441 \equiv 17 y \quad(\bmod 11)$$ umgeformt werden kann. Weisen Sie nach, dass diese Kongruenz lösbar ist.

b) Ermitteln Sie alle $y \in \mathbb{Z}$, welche diese Kongruenz erfüllen. Bestimmen Sie alle Paare von natürlichen Zahlen, welche die ursprüngliche Aufgabe lösen.

Comments

Hm. Lernst du nichts an den dir bereits gegebenen Antworten?

Answer 1

a)

444 = (11·x - 4) + (17·y + 7)
444 = 11·x - 4 + 17·y + 7
444 = 11·x + 17·y + 3
441 = 11·x + 17·y
11·x + 17·y = 441

Das kann man auch schreiben als

17·y = 441 mod 11

Diese Aufgabe hättest du eigentlich auch selber herleiten können oder?

Kommst du dann alleine weiter?