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Hallo ich habe folgendes Problem: wenn ich z.B. (1 · 2)^ −1 ≡ 5 (mod 9) habe, weiß ich nicht, wie ich auf die 5 komme. Gibt es da einen grundsätzlichen Vorgang ? Vielen Dank im Voraus

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Du suchst das Multiplikative Inverse der Zahl 2 nach dem Modul 9.

Es gilt

2*0 ≡ 0 mod 9

2*1 ≡ 2 mod 9

2*2 ≡ 4 mod 9

2*3 ≡ 6 mod 9

2*4 ≡ 8 mod 9

2*51 mod 9

2*6 ≡ 3 mod 9

2*7 ≡ 5 mod 9

2*8 ≡ 7 mod 9

Es gibt also maximal 9 mögliche Reste mod 9, und du suchst die Aufgabe mit dem Rest 1.

Wegen 2*5 ≡ 1 mod 9 ist also 5 das gesuchte Inverse von 2.

Avatar von 53 k 🚀

ah okay das ist verständlich. Und wie würde es dann bei ((−1) · 1)^−1 ≡ −1 (mod 10) aussehen ?

Einigen wir uns zunächst, dass (−1) · 1= -1 gilt und -1 ≡ 9 mod 10 ist.

Von den Produkten 0*9, 1*9, 2*9, ... lässt nur das Produkt 9*9=81 den Rest 1 mod 10.

Also ist 9 (bzw. -1) zu sich selbst invers nach dem Modul 10.

(Das lässt sich auch direkt mit (-1)*(-1)=1 begründen.

Super vielen Dank. Hat mir sehr weitergeholfen !

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2^(-1) ist das Multiplikativ Inverse zu 2.

Du suchst also

2 * 2^(-1) = 1 mod 9

Mach jetzt mal eine Tabelle

2 * 1 = 2 mod 9
2 * 2 = 4 mod 9
2 * 3 = 6 mod 9
2 * 4 = 8 mod 9
2 * 5 = 1 mod 9
2 * 6 = 3 mod 9
2 * 7 = 5 mod 9
2 * 8 = 7 mod 9

Ah du erkennst das 2^(-1) = 5 mod 9 gelten müsste.

Natürlich gibt es hier auch rechnerische Wege wie den erweiterten euklidischen Algorithmus. Aber wie du siehst kann man das bei solchen Werten auch noch von Hand machen.

Avatar von 477 k 🚀

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