Zeigen Sie, dass G x∗y=x+y+xy abgeschlossen ist bezuglich * .

Question

Aufgabe:

Es seiG:=R\ {−1} und eine Verknüpfung auf G definiert durch x∗y=x+y+xy.

Zeigen Sie, dass G abgeschlossen ist bezuglich * . Hinweis: Schreiben Sie x+y+xy=−1, nehmen Sie an, dass x=−1 ist und zeigen Sie, dass dann y=−1 gelten muss.

Problem/Ansatz:

Hi,

ich scheitere daran die Abgeschlossenheit aus Aufgabenteil a zu zeigen. wie wird das gelöst.

Danke

Comments

wie wird das gelöst.

Das wird so gelöst:

Schreiben Sie x+y+xy=−1, nehmen Sie an, dass x=−1 ist und zeigen Sie, dass dann y=−1 gelten muss.

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Vielleicht sollte es auch x≠-1 heißen.

Answer 1

ich scheitere daran die Abgeschlossenheit aus Aufgabenteil a zu zeigen

Ich hoffe, du kannst mit dem Begriff "Abgeschlossenheit" etwas anfangen. Wenn man für zwei "erlaubte" Werte x und y aus G die Verknüpfung x*y berechnet, muss das Ergebnis wieder ein Wert aus G sein.

Nehmen wir jetzt mal an, es läge keine Abgeschlossenheit vor. Dann müsste es möglich sein, mit x und y aus G einen nicht erlaubten Wert (und der einzige nicht erlaubte Wert ist -1) zu erhalten. Versuche also, ob x*y=-1 möglich ist.

Da x*y per Definition mit dem Term x+y+xy berechnet wird, hat der Versuch x*y=-1 also die konkrete Form

x+y+xy = -1.

Das lässt sich umstellen zu 1+x+y+xy =0 bzw. 1+x+y(1+x)=0 bzw. zu (1+y)(1+x)=0.

Ist (1+y)(1+x)=0 auf "legalem" Wege zu erreichen?

Comments

Entschuldige vielmals das war x ≠ -1 zu zeigen.