Monotonie und Beschränktheit bei Funkionen zeigen.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen g1 und g2 mit

g1 : (-2, 2) → ℝ mit x ↦ (x² - 6x) / (x-2)

g2: (2,∞) → ℝ mit x ↦ (x² - 6x) / (x-2)

1.) Sind die Funktionen g1 und g2 (streng) monoton fallend oder (streng) monoton wachsend?

2.) Sind die Funktionen nach unten bzw. oben beschränkt?

Problem/Ansatz:

Ich befinde mich momentan in der Klausurvorbereitung und habe bei diesem Aufgabentyp Probleme diesen sauber und schnell zu lösen. Ich hab versucht die Aufgabe wie folgt zu lösen:

1.) Hier habe ich zunächst mit der Quotientenregel versucht die erste Ableitung zu berechnen und kam nach Anwendung dieser Regel auf folgendes: g'1(x) = g'2 (x) = (x² - 4x + 12) / (x-2)²

Nun habe ich wie gewohnt versucht die Nullstellen der ersten Ableitungen zu bestimmen und habe die p - q Formel auf den Zähler angewendet und kam auf eine negative Diskriminante. Dies bedeutet ja das es keine Nullstellen in den reellen Zahlen für die Funktion gäbe. Allerdings brauche ich um die Monotonie zu bestimmen ja die Nullstellen. Steh hier leider voll auf dem Schlauch und weiß nicht weiter wie ich nun die Monotonie bestimmen könnte. Habe ich etwas übersehen?

2.) Beschränktheit habe ich leider bis jetzt nur bei Folgen behandelt und weiß nicht wie sich dies auf Funktionen übertragen lässt. (Nach oben beschränkt -> obere Schranke existiert nach unten beschränkt -> untere Schranke existiert?)

Bin etwas verwirrt bei der Aufgabe und würde mich über Hilfe sehr freuen. Gibt es eine Möglichkeit so eine Aufgabe möglichst effizient anzugehen komm hier immer etwas durcheinander und stehe in der Klausur immer unter extremen Zeitdruck.

Answer 1

1.) Da beide Funktionen auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar sind gilt (Quotientenregel):

$$g_1'(x): (-2,2)\rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto \frac{x^2-4x+12}{(x-2)^2}$$

$$g_2'(x): (2,\infty)\rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto \frac{x^2-4x+12}{(x-2)^2}$$

Offenbar gilt $$\frac{x^2-4x+12}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)^2+8}{(x-2)^2}=1+\frac{8}{(x-2)^2}>0 \text{ für alle } x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}.$$

Nach dem Monotoniekriterium sind sowohl g₁ als auch g₂ auf ihren Definitionsbereichen streng monoton wachsend, besitzen insbesondere auch keine Extremwerte.

2.) Es gilt  $$g_1(x)\xrightarrow{x\searrow -2} \frac{(-2)^2-6\cdot (-2)}{-2-2}=-4$$ und außerdem $$g_1(x)\xrightarrow{x\nearrow 2} \infty$$ Da es keine Extremstellen (bzw. lokale Maxima / Minima) gibt und g₁ streng monoton steigend ist, ist g₁ insbesondere durch -4 nach unten beschränkt. Nach oben ist g₁ mit letzterem Grenzwert nicht beschränkt.

Es gilt $$g_2(x)=\frac{x^2-6x}{x-2}=\frac{x-6}{1-\frac{2}{x}} \xrightarrow{x\rightarrow \infty} \infty$$

und zusätzlich

$$g_2(x) \xrightarrow{x\searrow 2} -\infty$$

Aufgrund der Grenzwerte ist g₂ weder nach oben, noch nach unten beschränkt.

Comments

Wie kommst du auf 1 + 8(x−2)²  ?

Und wie erkennst du folgende Aussage "Nach dem Monotoniekriterium sind sowohl g₁ als auch g₂ auf ihren Definitionsbereichen streng monoton wachsend"?

Hast du einfach jetzt einen Grenzwert der im Intervall ist eingesetzt?

Z.b. g1'(1) und g2'(3)?

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1.) $$\frac{(x-2)^2+8}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2}+\frac{8}{(x-2)^2} = 1 + \frac{8}{(x-2)^2}$$

2.) Das Monotoniekriterium trifft für differenzierbare Funktionen eine Aussage (wie der Name schon andeutet) über das Monotonieverhalten der Funktion. Da $$1+\frac{8}{(x-2)^2}>0 \ \forall x\in \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ gilt dies im Übrigen auch für die Ableitungsfunktionen von g₁ und g₂ auf ihren Definitionsbereichen, weshalb nach o.g. Kriterium das strenge monotone Wachstum folgt.

3.) Grenzwerte eingesetzt...?

Answer 2

g'2 (x) = (x² - 4*x + 12) / (x-2)²
Der Nenner ist stets positiv.
x² - 4x + 12
x² - 4x + 2² - 2² + 12
( x -2)² + 8
Ist stets positiv.
Die Steigung ist stets positiv.

Ich hoffe dies hilft dir etwas weiter.
Es ist jetzt schon spät.

Comments

Sind die Funktion g1 und g2 gleich ?
Irgendetwas scheint in der Frage nicht zu stimmen.
Geht morgen weiter.

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Danke für deinen Tipp. Ja die Funktionen sind gleich es ist nur jeweils der Definitionsbereich mit einem unterschiedlichen Intervall wie oben gegeben.

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...es ist nur jeweils der Definitionsbereich mit einem unterschiedlichen Intervall wie oben gegeben.

Und genau deshalb sind die Funktionen g1 und g2 nicht gleich.

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Nach der Argumentation oben müssten Sie aber beide streng monoton wachsend sein oder?

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Die Funktionen sind ( streng ) monoton wachsend.
monoton wachsend
f(x) = 0,1,2,3,4,5 :
streng monoton wachsend
f(x) = 0,1,1,2,3,4,5

Aufgrund der Einschränkung des
Definitionsbereichs wäre zu untersuchen.
g1 ( -2 )
g1 ( 2 )

g2 ( 2 )
g2 ( ∞ )

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Wie kommst du auf 1 + $\frac{8}{(x-2)}$²  ?

Und wie erkennst du folgende Aussage "Nach dem Monotoniekriterium sind sowohl g₁ als auch g₂ auf ihren Definitionsbereichen streng monoton wachsend"?

Hast du einfach jetzt einen Grenzwert der im Intervall ist eingesetzt?

Z.b. g1'(1) und g2'(3)?

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Deine Anfrage gilt wohl der Antwort von
Nevergiveup