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Wie kann man diese Aussage beweisen?

ich möchte diese unteren Aussage mit der Kettenregel beweisen.


Gegeben seien eine reelle Funktion \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) und eine vektorwertige Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} . \) Ferner sei sowohl \( g \) als auch \( f \) stetig differenzierbar. Zeigen Sie: Für jedes \( x_{0} \in \mathbb{R} \) sind die Vektoren \( f^{\prime}\left(g\left(x_{0}\right)\right) \) und \( (f \circ g)^{\prime}\left(x_{0}\right) \) linear abhängig.


Aber ich weiß nicht, wie ich mathematisch beweisen soll.

Ich hoffe auf Ihre Antwort und Hilfe.


von

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Seien a,b aus R mit

a*f'(g(xo)) + b* ( fog)'(xo) = 0 #   mit Kettenregel

==> a*f'(g(xo)) + b* f'(g(xo))*g'(xo)) = 0

==>  f'(g(xo)) * ( a + b*g'(xo) ) = 0

==>  f'(g(xo))  = 0-Vektor   oder  a + b*g'(xo) = 0

Im Falle f'(g(xo))  = 0-Vektor sind sie linear abh.

im Falle   a + b*g'(xo) gilt a = - b * g'(xo) .

Für g'(xo) = 0 ist also a=0 aber es kann b≠0 gewählt werden.

Für g '(xo)≠0 ist b =  -a/g'(xo) .

Also folgt aus # nie zwingend a=b=0 , somit sind die

Vektoren lin. abh.

von 270 k 🚀

vielen Dank!

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