Welchen Wert haben P([X ≤ 0]) und P([X = 0])?

Question

Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Welchen Wert haben P([X ≤ 0]) und P([X = 0])?

Ich hätte jetzt gesagt, dass Sie den gleichen Wert haben, weil sich von der Rechnung nichts ändert. Wenn P(X=1) und P(X≤1) stehen würde dann wäre das ja was anderes, weil = 1 nur die 1 berücksichtigt und ≤ 1 aber 0 und 1 berücksichtigt wird.

Lieg ich da komplett daneben?

Answer 1

Bei einer stetigen Zufallgröße hat jeder konkrete Einzelwert a die Wahrscheinlichkeit 0, weil

\( \int\limits_{a}^{a} (Dichtefunktion)dx\) nun mal 0 ist.

Deshalb ist  P([X = 0]) gleich 0, während

P([X ≤ 0]) übrigens genau so groß wie P([X < 0])  ist

und wegen der Symmetrie der Dichtefunktion den Wert 0,5 hat.