Stimmt das Ergebnis, Optimierung unter Nebenbedingungen

Question

Hallo liebe Mathematikfreunde,

Ich bearbeite zurzeit das Thema Optimierung unter Nebenbedingungen. Hier geht es um die Extremstellen der Funktion

$f(x,y,z)=(x-1)^2+y^2+z^2$

unter der Nebenbedingung

$g(x,y,z)=x+y-z^2+1=0$

Ich erhalte als Lösungen zwei kritische Punkte

$P_1(0.5,-0.5,1)$ und $P_2(0.5,-0.5,-1)$

Stimmt das Ergebnis? Falls nicht, bin ich um einen richtigen Rechenweg dankbar.

Comments

Hallo,

das ist richtig :) Nutze WolframAlpha, um dein Ergebnis zu kontrollieren. Hier findest du die Bestätigung, dass dein Ergebnis in der Tat richtig ist.

---

Meine es würde zu kompliziert gerechnet.
Meine Rechnung :
g nach y umgestellt und in f eingesetzt
ergibt eine Funktion mit 2 Variablen f ( x,z)
Partielles Differenzieren.ergibt
die Lösung z = -1, 0, 1
Die Berechnungen übernahm ein Mathe-Programm.

Answer 1

Aloha :)

Deine Lösungen sind richtig, aber es gibt noch eine dritte Lösung. Vermutlich bist du an die Aufgabe mit Lagrange-Multiplikatoren rangegangen. Das ist das Standard-Verfahren, leider unnötig kompliziert und fummelig zu handhaben. Das ist quasi dafür gemacht, dass man Lösungen übersieht. Besser machst du es mit Determinaten:$$f(x,y,z)=(x-1)^2+y^2+z^2\quad;\quad g(x,y,z)=x+y-z^2+1=0$$Wir bilden die beiden Gradienten und schreiben sie als Spalten in eine $3\times2$-Matrix. Da wir davon die Determinante nicht bestimmen können, streichen wir einfach eine Zeile, und bestimmen 2 Determinanten von 2 quadratischen Matrizen:

$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{c}2(x-1) & 1\\\not2\not y & \not1 \\2 z & -2z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}2(x-1) & 1\\2 z & -2z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}2x-1 & 1\\0 & -2z\end{array}\right|=-2z(2x-1)$$$$\qquad\Rightarrow\quad z=0\quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{c}2(x-1) & 1\\2 y & 1 \\\not2 \not z & \not-\not2\not z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}2(x-1) & 1\\2y & 1\end{array}\right|=2(x-1)-2y=2(x-y)-2$$$$\qquad\Rightarrow\quad x-y=1\quad\Rightarrow\quad y=x-1$$

Du hast nur den Fall $x=\frac{1}{2}$ und $y=-\frac{1}{2}$ weiter betrachtet. Setzt man diese Werte in die Nebenbedinung ein, erhält man die fehlenden Werte für $z$:$$0=x+y-z^2+1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-z^2+1=-z^2+1\quad\Leftrightarrow\quad z=\pm1$$Das sind deine beiden kritischen Punkte:$$P_1\left(\frac{1}{2}\,;\,-\frac{1}{2}\,;\,1\right)\quad;\quad P_2\left(\frac{1}{2}\,;\,-\frac{1}{2}\,;\,-1\right)$$Übersehen hast du bei der Lagrange-Fummelei die Lösung $z=0$:$$0\stackrel{!}{=}g(x;x-1;0)=x+(x-1)-0^2+1=2x\quad\Rightarrow\quad x=0\;;\;y=x-1=-1$$Die dritte Lösung ist daher:$$P_3(0\,;\,-1\,;\,0)$$

Comments

weißt du warum auch WolframAlpha versagt?

---

Warum unser Freund Wolfram hier nur 2 Lösungen findet, kann ich nicht genau sagen, weil ich die dort verwendeten Algorithmen nicht kenne. Wenn man die Lagrange-Gleichung aufstellt und alle partiellen Ableitungen Null setzt, erhält man:$$0=2(x-1)-\lambda$$$$0=2y-\lambda$$$$0=2z+2\lambda z$$$$0=x+y-z^2+1$$Vermutlich "übersieht" Wolfram bei der dritten Gleichung die triviale Lösung $z=0$ und dividert die Gleichung einfach durch $2z$, woraus $\lambda=-1$ und die beiden angezeigten Lösungen resultieren:$$0=2(x-1)-(-1)=2x-1\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}$$$$0=2y-(-1)=2y+1\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{1}{2}$$$$0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-z^2+1=-z^2+1\quad\Rightarrow\quad z=\pm1$$Meine Vermutung ist daher, dass Wolfram hier einfach ein Division-by-Zero-Problem ignoriert.

---

Klingt sehr plausibel. Umso besser, dass du nicht so faul warst :P

---

Danke Tschakabumba für die Rechnung und die Einsicht das man sich niemals 100% auf ein CAS verlassen sollte.