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Aufgabe:

Es bezeichne \( \Omega \subset \mathbb{R}^{2} \) das
von der Parabel \( P=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x=y^{2}\right\} \) und der Geraden \( G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x+y=2\right\} \)
begrenzte Gebiet. Skizzieren Sie das Gebiet \( \Omega \) und berechnen Sie das Integral
$$ \iint_{\Omega}\left(6 x+2 y^{2}\right) d(x, y) $$


Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht ganz sicher welche Grenzen ich beim inneren integrieren nehmen muss, durch ausprobieren kam ich auch auf keine logische Lösung.

von

2 Antworten

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Aloha :)

Wir folgen der Aufgabenstellung und skizzieren zunächst die Menge \(\Omega\):

~plot~ 2-x ; sqrt(x) ; -sqrt(x) ; {1|1} ; {4|-2} ; [[-0,5|5|-2,5|2,5]] ~plot~

Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind \((1;1)\) und \((4;-2)\). Für das gesuchte Integral über die Punktmenge \(\Omega\) können wir folgende Intervalle verwenden:$$x\in[0;1]\quad;\quad y\in[-\sqrt x;\sqrt x]$$$$x\in[1;4]\quad;\quad y\in[-\sqrt x;2-x]$$Das heißt:$$I=\int\limits_\Omega(6x+2y^2)\,d(x,y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_{-\sqrt x}^{\sqrt x}dy\,(6x+2y^2)+\int\limits_1^4dx\int\limits_{-\sqrt x}^{2-x}dy\,(6x+2y^2)$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\left[6xy+\frac{2}{3}y^3\right]_{y=-\sqrt x}^{\sqrt x}+\int\limits_1^4dx\left[6xy+\frac{2}{3}y^3\right]_{y=-\sqrt x}^{2-x}$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\left[\left(6x\sqrt x+\frac{2}{3}x\sqrt x\right)-\left(-6x\sqrt x-\frac{2}{3}x\sqrt x\right)\right]$$$$\phantom{I}+\int\limits_1^4dx\left[\left(6x(2-x)+\frac{2}{3}(2-x)^3\right)-\left(-6x\sqrt x-\frac{2}{3}x\sqrt x\right)\right]$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\frac{40}{3}x^{3/2}dx-\int\limits_1^4\frac{2}{3}(x^3+3x^2-6x-8)dx+\int\limits_1^4\frac{20}{3}x^{3/2}dx$$$$\phantom{I}=\frac{16}{3}\left[x^{5/2}\right]_0^1-\frac{2}{3}\left[\frac{x^4}{4}+x^3-3x^2-8x\right]_1^4+\frac{8}{3}\left[x^{5/2}\right]_1^4$$$$\phantom{I}=\frac{16}{3}(1-0)-\frac{2}{3}\left(48+\frac{39}{4}\right)+\frac{8}{3}\left(32-1\right)=\frac{16}{3}-\frac{77}{2}+\frac{248}{3}$$$$\phantom{I}=\frac{32-231+496}{6}=\frac{297}{6}=\frac{99}{2}$$

von 128 k 🚀
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1. hast du das Gebiet gezeichnet, die 2 Schnittpunkte bestimmt? dann musst du wohl in 2 Teilen integrieren nur Parabel bis zum 1. Schnittpunkt , unterer Parabelzweig bis Gerade

allerdings gibt es auch das gebiet oberhalb der Parabel und der Geraden. Es ist nicht eindeutig, welches gemeint ist.

Gruß lul

von 93 k 🚀

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