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Aufgabe:

n3+2n ist durch 3 teilbar mit vollständiger Induktion beweisen


Problem/Ansatz:

Hallo Leute,

könnt ihr meine Lösung mal anschauen und sagen, ob ich richtig oder falsch gemacht habe?


∣A :n=1⇒13+2⋅1=3⇒ ist durch 3 teil bar
1V: n3+2n ist durch 3 teicbar
∣B: (n+1)3+2⋅(n+1) durch 3 teilbar
∣s:(n+1)3+2⋅(n+1)
=n3+3n2+3n+1+2n+2
=(n3+2n)+(3n2+3n+3)

Die Erste Klammer ist lauf IV ja durch 3 teilbar und der zweite Teil ist es ja auch, da vor jedem Summand eine 3 steht. So wäre ich ja fertig?

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Ja genau. Du kannst auch schön die 3 noch ausklammern

Zu zeigen

n^3 + 2·n ist durch 3 teilbar

Induktionsanfang: n = 0

0^3 + 2·0 ist durch 3 teilbar
0 ist durch 3 teilbar
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

(n + 1)^3 + 2·(n + 1) ist durch 3 teilbar
n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1 + 2·n + 2 ist durch 3 teilbar
n^3 + 3·n^2 + 5·n + 3 ist durch 3 teilbar
n^3 + 2·n + 3·n^2 + 3·n + 3 ist durch 3 teilbar
(n^3 + 2·n) + 3·(n^2 + n + 1) ist durch 3 teilbar
n^3 + 2·n ist wegen der Induktionsvoraussetzung durch 3 teilbar
3·(n^2 + n + 1) ist durch drei teilbar weil ein Faktor 3 ist.

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Super. Achja schöner aufschreiben wäre ja nicht schlecht. Also als IA kann ich ja 0 oder 1 einsetzen?

@Mathecoach,

deinen Induktionsanfangkann ich nachvollziehen aber deinen Induktionschluss verstehe ich nicht.

Ich würde folgendes machen

Induktionsannahme

3 I n^3 + 2n

es gilt 3I 3*(n^2 + n + 1)

dann gilt auch für die Summe

3I n^3 + 2n + 3*(n^2 + n + 1)

ausklammern und umsortieren

3I n^3 +3n^2 + 3 n +1 +2n +2

umformen

3I (n+1)^3 + 2(n+1) wzzw

Ich schreib es nur in der anderen Reihenfolge auf. D.h. ich beginne damit was ich zeigen will und ende mit der Begründung.

Dieses fand ich persönlich immer einfacher.

technisch verstehe ich es und da n beliebig groß sein kann, läuft es auch auf das gleiche raus.

Also als IA kann ich ja 0 oder 1 einsetzen?

Du setzt meist den ersten Wert ein für den es gilt. Da das hier die Null ist wähle ich 0 als Anfang.

Meist steht das aber in der Aufgabe für welche n das zu zeigen ist. n steht ja meist für eine Natürliche Zahl und die beginnen entweder bei 0 oder 1.

Okay danke =)

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Aloha :)

Vielleicht hilft es, den Ausdruck etwas umzuschreiben:$$a(n)=n^3+2n=n^3\,\overbrace{-n+n}^{=0}+2n=n^3-n+3n=n(n^2-1)+3n$$$$\phantom{a_n}=n(n-1)(n+1)+3n$$Jetzt sieht man bereits ohne Induktion, dass \(a(n)\) durch \(3\) teilbar ist, denn der zweite Summand \(3n\) ist sicher durch \(3\) teilbar und der erste Summand besteht aus 3 direkt aufeinander folgenden natürlichen Zahlen als Faktoren \((n-1)\cdot n\cdot(n+1)\), von denen einer ein Vielfaches von \(3\) ist. (Für \(n=1\) wird der erste Summand \(=0\) und ist somit auch durch \(3\) teilbar.)

Mit Induktion würde ich wie folgt vorgehen...

Verankerung bei \(n=1\):$$a(1)=1^3+2\cdot1=3\quad\checkmark\quad\text{durch \(3\) teilbar!}$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):

$$a(n+1)=(n+1)^3+2(n+1)=(n^3+3n^2+3n+1)+(2n+2)$$$$\phantom{a(n+1)}=(n^3+2n)+3n^2+3n+3=(n^3+2n)+3(n^2+n+1)\quad\checkmark$$Der Summand \(n^3+2n\) ist nach Induktionsvoraussetzung durch \(3\) teilbar und der Summand \(3(n^2+n+1)\) enthält den Faktor \(3\), ist also auch durch \(3\) teilbar.

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Danke nochmal für die Veranschaulichung =)

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