0 Daumen
206 Aufrufe

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie mithilfe der vollständigen Induktion:

(7^2n ) -(2^n) ist durch 47 teilbar n>0


Problem/Ansatz:

Hallo leute,

ich habe folgende aufgabe bekommen und

weiss nicht , ob ich sie ja doch richtig gelöst habe .

brauche  eure Hilfe .

induktionanfang n=0

47: 0 teilbar  (für n NULL einsetzen)

induktionschritt: n=n+1

47: 2^2(n+1) -2^n+1 (für n (n+1)einseetzen

47: 2^2n+2 - 2^^n+1

47: 2^^2n *2^^1 - 2^^n *2^^1

von

An den, der die Frage so formuliert hat. (Das ist vermutlich nicht dein Fehler :) ) Mit vollständiger Induktion widerlegen ist eigentlich sehr umständlich. Ein Gegenbeispiel würde genügen, wenn die Aussage denn nicht stimmen würde.

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Induktionsanfang musst du mit n=1 machen, da steht doch n>0.

Und für n=1 gibt es auch 47, bei n=0 gäbe es 0.

und :    47 ist durch 47 teilbar.


Nicht 47 : ….   sondern    …. : 47. Also eher so:

 7(2n+1) -2n+1 (für n (n+1) einsetzen

= 7^2 * 7^(2n) - 2*2^n

= 49*7^(2n) - 2*2^n

= 47*7^(2n) +7^(2n) +7^(2n) - 2^n  - 2^n

 = 47*7^(2n)+ [7^(2n) - 2^n]  +[7^(2n) - 2^n]

Der erste Summand ist durch 47 teilbar, weil er den Faktor 47 enthält und die

beiden eckigen Klammern nach Induktionsvoraussetzung.

Also ist auch die Summe der 3 Teile durch 47 teilbar.   q.e.d.

von 172 k

was hast du da gemacht:

= 47*7^(2n) +7^(2n) +7^(2n) - 2n  - 2n

Vorher war es: = 49*7^(2n) - 2*2^n

Und irgendwie muss man ja die Induktionsvoraussetzung

47 teilt 7^(2n) - 2^n   einbringen.

Dazu habe ich 49*7^(2n) aufgeteilt in (47+2)*7^(2n)

und Klammer aufgelöst 47*7^(2n) +2*7^(2n)

und dann nochmal aufgeteilt 47*7^(2n) +7^(2n) + 7^(2n) .

Und die   - 2*2^n aufgeteilt in    - 2^n  - 2^n .

@morit: 2 * 2^n = 2^n + 2^n  noch klar?

Analog zu 2 * 10 = 10 + 10 .

Induktionsanfang musst du mit n=1 machen

Wenn die Aussage für n≥0 gilt, dann gilt sie auch für n>0.

Danke dir, habe verstanden.

+2 Daumen
Vollständige Induktion: 7^(2·n) - 2^n ist durch 47 teilbar


Zu zeigen:

7^(2·n) - 2^n ist durch 47 teilbar

Induktionsanfang: n = 0 bzw. n = 1

7^(2·0) - 2^0 = 0 ist durch 47 teilbar.
7^(2·1) - 2^1 = 47 ist durch 47 teilbar.

Induktionsschritt: n → n + 1

7^(2·(n + 1)) - 2^(n + 1) ist durch 47 teilbar
7^(2·n + 2) - 2^(n + 1) ist durch 47 teilbar
49·7^(2·n) - 2·2^n ist durch 47 teilbar
47·7^(2·n) + 2·7^(2·n) - 2·2^n ist durch 47 teilbar
47·7^(2·n) + 2·(7^(2·n) - 2^n) ist durch 47 teilbar

Eine Summe ist durch 47 teilbar wenn beide Summanden durch 47 teilbar sind. Ein Produkt ist durch 47 teilbar, wenn ein Faktor durch 47 teilbar ist.
von 299 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...