Question

Bestimmtes Integral berechnen f(x) = 1/√(9-x^2)

Ansatz:

\( \int \limits_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}} d x=(r=\sqrt{9-x^{2}})=\int \limits_{0}^{3} \frac{1}{r} d r=\ln (r)((\text {von 0 bis 3})) \)
\( =\ln (\sqrt{9-x^{2}})\left(\left(^{\prime \prime}\right)\right)=\ln (0)-\ln (3)=-\infty \)

Das stimmt natürlich auch nicht. Mach ich etwas falsch mit dem dx → dr?

Answer 1

Hi,

in der Tat hast Du etwas falsch gemacht. Du kannst doch nicht einfach dx durch dr ersetzen. Du hast sicher gelernt, dass bei der Substitution auch dr bestimmt werden muss um dx zu ersetzen!

Wenn Du erlaubst schlage ich einen anderen Weg vor. Mit der Substitution der kompletten Wurzel sehe ich keinen sinnvollen Weg.

Ausklammern der 9 in der Wurzel und damit auch teilweise radizieren:


$$\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \frac13\int\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}} dx$$

Nun substituieren. Und zwar u = x/3 woraus folgt du = 1/3 dx. Es ergibt sich also:

$$\frac13\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} 3du = \int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = arcsin(u) = arcsin(\frac x3)$$


Noch die Grenzen eingesetzt: --> \(\frac{\pi}{2}\)


Grüße

Comments

Kann man als Regel nehmen, dass man nur relativ einfach substituieren sollte?

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:D Das ist mit Sicherheit der eigene Wunsch der einen trägt.

Eine Substitution ist aber nicht verwendbar, wenn beide Variablen, das x und das r, weiter eine Rolle spielen. Bei der Integration wird eine der beiden als konstant betracht werden. Das wäre bei Dir eventuell der Fall gewesen!