Mathematik - Übungsaufgabe zu Verständnisproblemen

Question

Aufgabe:

Auf der A3 am Heumarer Dreieck in Fahrtrichtung Frankfurt wurde über einen längeren Zeitraum die Staulänge in Abhängigkeit von der Zeit t gemessen. Der Graph von f (t) = -0,01t⁴ + 0,51t³ - 9,43t² +74,97t - 213,64 gibt die Länge des durchschnittlichen täglichen Autobahnstatus an Wochentagen an (t im Intervall [7; 16] in Stunden seit Mitternacht, f(t) Staulänge in km).

g) Berechne, mit welcher Geschwindigkeit der Stau um 8:00 Uhr wächst.

h) Berechne die Koordinaten der Wendepunkte und interpretiere diese im Sachzusammenhang.

i) Berechne, zu welchem Zeitpunkt der Stau am schnellsten wächst.

Vielen Dank.

Problem/Ansatz:

Mir ist es gelungen, dass ich die ersten 6 Teilaufgaben lösen konnte - bei den letzten drei habe ich jedoch Schwierigkeiten.

Bei g) hätte ich zumindest die Vermutung, dass ich zur ersten Ableitung greifen muss, d.h. f'(8) = 1,53.

Jedoch habe ich bei h) als auch bei i) keine wirkliche Vermutung - ich fühle mich auf dem Gebiet der Wendepunkte nicht sicher und hätte auch keine wirkliche Ahnung, wie ich diese im Sachzusammenhang deuten sollte.

Wäre es möglich, dass mir jemand die Berechnung von g) und i) auch notieren könnte - bitte? Dann kann ich den Sachverhalt deutlich einfacher nachvollziehen.

Comments

g) ist richtig.

Was hast du denn für die Wendepunkte raus?

Die Wendestellen geben die Zeitpunkte des stärksten relativen Abfalls/Anstiegs der Funktion f im Innern von [7,16] an.

Den stärksten Anstieg hat man aber zur Zeit t=7 (Randstelle des Definitionsbereichs)

Answer 1

Staulänge
( 7 | 0 km ) Kein Stau, linker Rand des Intervalls
( 8 | 2.76 km )
( 9 | 3.44 ) relatives Maximum, f ´ = 0
( 12.25 | 1.98 ) relatives Minimum, f ´ = 0
( 16 | 5.4 ) rechter Rand des Intervalls

g.) ist richtig. 1.53 km/std

h) Berechne die Koordinaten der Wendepunkte und interpretiere diese im Sachzusammenhang.
f ´´( t ) = - 0.12 * t^2 + 3.06 * t - 18.86
f ´´ = 0
t = 10.43
f ( 10.43 )  = 2.77 km

t = 15.07
f ( 15.07 )  = 4.25 km

Ein Wendepunkt ist ein Punkt an dem eine
Funktion am stärksten steigt oder fällt.

Steigung an den Wendepunkten

f ´ ( 10.43 )  =  - 0.68 km/std

f ´ ( 15.07 )  = 1.32 km/std

i) Berechne, zu welchem Zeitpunkt der Stau am schnellsten wächst.

Randsteigung
t = 7 => f ´( 7 ) = 4.2 km/std
t = 16

t = 16 => f ´( 16 ) = 1.05 km/std

Am schnellsten wächst der Stau am linken Rand.

Frag nach bis alles klar ist.

Comments

Vielen Dank - aber was sagen die Wendepunkte denn nun zentral im Sachzusammenhang aus?

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Hier der Graph Uhrzeit zu Staulänge.

Die Steigung der Kurve ist bei ca 9 Uhr gleich 0.
Dann fällt bis x = 10.43 und dort hat den steilsten Abfall
von -0.68 km/std. Das heist die Staulänge verkürzt sich
dort um 0.68 km/std.

Bei 12 Uhr ist die Steigung 0 km/std. Dort bleibt die Staulänge
gleich.

Bis zum nächsten Wendepunkt um 15 Uhr nimmt die Staulänge
wieder zu und erreicht dort den Zunahmewert 1.32 km/std.

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Okay, vielen Dank - ich hätte aber noch eine Frage.

Warum wächst der Stau um 16 Uhr am schnellsten, wenn doch die Steigung des Wendepunktes gegen 15 Uhr bereits ein höheres Wachstum vorweist?

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Falscher Alarm, ich hatte gerade einen Denkfehler.

Gibt es denn ein Kriterium, an dem ich festmachen kann, dass der Graph zwingend an der Stelle 7 am meisten wächst?

Woher weiß ich das?

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Wenn du wissen willst wann die Steigung
am größten / kleinsten ist mußt du
die Steigung f ´ an allen Wendepunkten
berechnen,
sowie die Steigung an den Rändern berechnen.

Hier der Graph der Steigung f ´

Änderung der Staulänge
7         = 4.02 km/std
10.43  =  - 0.68
15.07  = 1.32
16       = 1.05