Wahrscheinlichkeit. Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit P(mind. 2 mal 6)≥90%?

Question

Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkiet von mindestens 90 %

mindestens zwei mal die Augenzahl 6 auftritt?

Answer 1

Mindestens zweimal eine Sechs zu würfeln bedeutet: nicht genau keinmal eine Sechs und nicht genau 1 mal eine Sechs zu würfeln. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, bei n Würfen mindestens zwei mal eine Sechs zu würfeln gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses abzüglich der  Wahrscheinlichkeiten, bei n Würfen genau keinmal oder genau einmal eine Sechs zu würfeln.

Es ist also die Anzahl n der Würfe so zu bestimmen, dass gilt:

1 - B ( n , 0 , 1 / 6 ) - B ( n , 1 , 1 / 6 ) ≥ 0,9

( wobei B ( n , k , p ) die Binomialverteilung ist mit
n = Anzahl Versuche, k = Anzahl Treffer, p = Wahrscheinlichkeit für einen Treffer )

<=> 1 - ( n über 0 ) * ( 1 / 6 ) ⁰ * ( 5 / 6 ) ⁿ - ( n über 1 ) * ( 1 / 6 ) ¹ * ( 5 / 6 ) ^{n - 1} ≥ 0,9

<=> 1 - 1 * 1 * ( 5 / 6 ) ⁿ - n * ( 1 / 6 ) * ( 5 / 6 ) ^{n - 1} ≥ 0,9

<=> 1 - ( 5 / 6 ) ⁿ - ( n / 6 ) * ( 5 / 6 ) ^{n - 1} ≥ 0,9

<=> 0,1 ≥ ( 5 / 6 ) ⁿ + ( n / 6 ) * ( 5 / 6 ) ^{n - 1}

<=> 0,1 ≥ ( 5 / 6 ) ^{n - 1} ( ( 5 / 6 )  + ( n / 6 ) )

<=> 0,1 ≥ ( 5 / 6 ) ^{n - 1} ( ( 5 + n ) / 6 )

Das mag man nun ausrechnen (nach n auflösen) ...

Es ergibt sich (positive Lösung)

n ≥ 21,8478...

Man muss also mindestens 22 mal würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens zwei mal eine Sechs zu würfeln.