Induktionsbeweis : ∑(von k=1 bis 2n) (k/(2^k)) = 2- ((n+1)/2^n-1)

Question

Aufgabe:

Kann mir hier jemand behilflich sein? Meiner Meinung nach ist der Induktionsanfang schon gar nicht gegeben???

∑(von k=1 bis 2n) (k/(2^k)) = 2- ((n+1)/2^n-1)

Comments

2- ((n+1)/2ⁿ-1) =2- (n+1)/2ⁿ+1=3 - (n+1)/2ⁿ. Aber dann stimmt de Summenformel nicht.

Answer 1

Hallo,

Meiner Meinung nach ist der Induktionsanfang schon gar nicht gegeben???

Stimmt - es könnte heißen: $$\sum_{k=1}^{2n} \frac k{2^k} = 2 - \frac {n +1}{2^{2n-1}} $$für \(n=1\) steht dann auf jeder Seite eine \(1\). Induktionsschritt geht dann so:$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{2(n+1)} \frac k{2^k} &= \sum_{k=1}^{2n} \frac k{2^k} \space + \frac{2n+1}{2^{2n+1}} + \frac{2n+2}{2^{2n+2}} \\ &=  2 - \frac {n +1}{2^{2n-1}}  + \frac{(2n+1) + (n+1)}{2^{2n+1}}  \\ &= 2 - \frac{4n+4}{2^{2n+1}} + \frac{3n+2}{2^{2n+1}} \\ &= 2 - \frac{(n+1) + 1}{2^{2(n+1)-1}} \\ & \text{q.e.d.}\end{aligned}$$

Comments

Aber auch hier... was ist mit dem Induktionsanfang.. Eingesetzt erhalte ich hier

für n=1 1/2=2-2/2???

k/2^k --- warum steht für n=1 eine 1 auf beiden Seiten??? Da habe ich einen Knoten

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für n=1 geht k von 1 bis 2:

1/2+2/4=2-2/2 stimmt.

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Oh wie blöd! Ja natürlich ... Danke Knoten gelöst!