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a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Aussage

k=1n   1/((2k − 1)(2k + 1)) = n/(2n + 1)

für alle n ∈ N.


Mein Lösungsversuch:

IA: n=1     1/3 = 1/3   OK

IS setze n+1 für n ein.

k=1n+1   1/((2k − 1)(2k + 1)) = (n+1)/(2(n+1) + 1)

dann schreibe ich die Summe wieder um dass sie nur bis n geht und hänge das letzte Glied dran. (mit der IV gilt dann nämlich)

k=1n  1/((2k − 1)(2k + 1))  + 1/((2(n+1) − 1)(2(n+1) + 1))  = (IV) n/(2n + 1) + 1/((2(n+1) − 1)(2(n+1) + 1))


aber wenn ich die rechte Seite vereinfache komme ich auf. (2n2+ 3 + 1) / ((2n+1) (2n+3))

und ich müsste ja auf (n+1)/(2(n+1) + 1) kommen


habe ich irgendwo einen Denkfehler ?

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deine Rechnung sieht gut aus. Du kannst es mal mit Polynomdivision versuchen, denn dadurch kürzt sich der Faktor 2n+1 2n+1 raus und du erhältst den Ausdruck aus deinem Induktionsschritt.


2n2+3n+1(2n+1)(2n+3)=(2n+1)(n+1)(2n+1)(2n+3)=n+12n+3 \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2n+3}

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