Analysis Tangente Funktionsterm

Question

Aufgabe:

Hallo, hätte eine Frage zur Analysis. Gegeben ist die Funktion: f(x)= 12x*e^-0,5x. Die Funktion gibt die Wirkungskonzentration eines Medikamentes in mg pro Stunden an. Aufgabenstellung: Der Lineare Abbau nach 5 Stunden wird durch eine Funktion g beschrieben, die durch die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f beschrieben wird. Bestimmen sie den Funktinsterm g.

Bin mir nicht sicher wie ich hier vorgehen soll. Kann mir jemand einen Anhaltspunkt geben?

Answer 1

Bestimme die erste Ableitung der Funktion $f(x)$ und berechne daraus die Steigung $m = f'(x_0)$ der Funktion $f(x)$ in dem zu betrachtenden Punkt $x_0$. Die Tangentengleichung lautet dann $$g(x) = m (x-x_0)+f(x_0)$$

Answer 2

g(x) = m*x+b

m= f '(5)

Zudem gilt:

g(5) = f(5) = 12*5*e^(-0,5*5) = 60*e^(-2,5) = ...

g(5) = m*5 +b

b= ...

Answer 3

f(x) = 12·x·e^(- 0.5·x)

f'(x) = 6·e^(- 0.5·x)·(2 - x)

a = 5

f(a) = 60·e^(- 5/2) = 4.925

f'(a) = - 18·e^(- 5/2)

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a) = - 18·e^(- 5/2)·(x - 5) + 60·e^(- 5/2) = 150·e^(- 5/2) - 18·e^(- 5/2)·x = 12.31 - 1.478·x

Skizze:

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f₁(x) = 12x·e^(-0,5x)f₂(x) = 12,31-1,478xP(5|4,925)Zoom: x(0…10) y(0…10)