$$[[a,b],[c,d]] = <a,[c,d]>b - <b,[c,d]>a\quad Entwicklungssatz$$
$$= <[c,d],a>b - <[c,d],b>a \quad Symmetrie ~inneres~ Prod.$$
$$= <c,d,a>b - <c,d,b>a \quad Definition ~Spatprodukt$$
$$= <c,d,a>b - <b,c,d>a \quad zyklische ~Vertauschbarkeit~ Spatprod.$$
und
$$ [[a,b],[c,d]] = <[a,b],d>c - <[a,b],c>d \quad Entwicklungssatz$$
$$ = <a,b,d>c - <a,b,c>d \quad Definition ~Spatprodukt$$