Zeige, dass die folgenden Statements bezüglich linearer Abhängigkeit äquivalent sind

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die folgenden Statements äquivalent sind:

1. Die Vektoren \(u_1, .., u_m \) sind linear abhängig.

2. Es existiert ein \(j \in \{1,...,m\} \) sodass \(Span(u_1,...,u_{j-1},u_{j+1},...,u_m) = Span(u_1,....u_m) \)

Problem/Ansatz:

Also, wenn die Vektoren linear abhängig sind, heißt es, dass ein Vektor durch die Linearkombination der anderen Vektoren ausgedrückt werden kann. Das heißt, dieser Vektor ist redundant und muss auch nicht in das Erzeugendensystem. Soweit verstanden, aber wie zeige ich das formal?

Answer 1

wenn die Vektoren linear abhängig sind, heißt es, dass ein Vektor durch die Linearkombination der anderen Vektoren ausgedrückt werden kann.

Das ist genau die Aussage 2 in Worten formuliert.

Und 1. ist ja wohl so definiert:

Es gibt reelle Zahlen a1,...,an gibt mit a1u1+...anun=0

und mindestens ein ai ist nicht 0.

Beweisen lässt sich das wohl so:

Wenn 1 gilt, dann gibt es ein j mit und

a1,...,a_j-1, aj+1,..,an mit

a1*u1+...+aj-1*uj-1+aj+1*uj+1+...+anun = uj

Bringe den uj auf die andere Seite und du hast eine

Darstellung wie für 1. gebraucht mit aj=-1≠0.

Umgekehrt: Wenn du eine Darstellung gemäß 1. hast und es ist ja eines

von den a's ( etwa aj ) ungleich 0, dann bringe den auf die andere Seite

und teile durch aj und du bist fertig.

Comments

Also in diesem Fall bedeutet "zeigen" einfach zu erklären, warum per Definition der linearen Abhängigkeit beide Aussagen äquivalent sind?

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Zeigen von Äquivalenz

heißt bei mathematischen Texten immer:

mit logischen Schlüssen begründen, dass aus

der einen Aussage die andere folgt und

umgekehrt.