Aloha :)
Wir rechnen die linearen Abhängigkeiten mittels elementaren Spalten-Operationen aus den Vektoren von \(M\) heraus:$$\begin{array}{rrrr} & -S_1 & -S_2 & -S_1\\\hline 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 2 & 3 & 0\\0 & 3 & 2 & 0\\0 & 4 & 4 & 42\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} & -2\cdot S_3 & & :\,42\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 2 & 1 & 0\\0 & 3 & -1 & 0\\0 & 4 & 0 & 42\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr} & -4\cdot S_4 & & \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 5 & -1 & 0\\0 & 4 & 0 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} & :\,5 & +\frac{1}{5}S_2 & \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 5 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \vec b_4 \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}$$
1. M ist linear unabhẳngig
Ja, wir haben keine Nullspalte erhalten.
2. M ist ein Erzeugendensystem von V
Ja, wir haben die kanonischen Einheitsvektoren erhalten.
3. \( \mathrm{M} \) ist eine Basis von \( \operatorname{span}(U) \)
Der Raum \(U\) ist maximal 2-dimensional, M hat aber 4 linear unabhängige Vektoren. \(M\) spannt also einen weitaus größeren Raum auf als \(U\).
4. \( \mathrm{M} \) ist eine Basis von \( \mathrm{V} \)
Ja, wir haben die kanonischen Einheitsvektoren als Basis für \(M\) erhalten, die auch zugleich eine Basis des \(\mathbb R^4\) sind.
5. U ist ein Erzeugendensystem von \( \operatorname{span}(M) \)
Nein, 2 Basisvektoren können keinen 4-dimensionalen Raum aufspannen.
