Mathematik - Berechnung des Abstands

Question

Aufgabe:



Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte die Aufgabe erklären.

a) Berechnen Sie, von welchem Punkt des Graphen von f der Punkt Q den kleinsten Abstand hat?

I. f (x) = x² Q(0|1,5)

II. f (x) = x² Q(3|0)

Vielen Dank - einen wirklichen Ansatz habe ich nicht.

Answer 1

Hallo,

einen wirklichen Ansatz habe ich nicht.

Dann mache Dir doch mal eine Zeichnung:

Die Funktion $f(x)=x^2$ ist die Normalparabel (blau). Ein beliebiger Punkt auf der Parabel sei $P$ mit den Koordinaten $P(x|x^2)$. Um den Abstand zum einem Punkt $Q(0|1,5)$ zu bestimmen, wähle den Satz des Pythagoras. Sei der Abstand $e$ dann gilt:$$e = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2 - 1,5)^2} = \sqrt{x^4 - 2x^2 + 2,25} \to \min$$Dieser Abstand $e$ soll in Abhängigkeit von $x$ minimiert werden. Es ist also eine klassische Optimierungsaufgabe.

Um Rechenarbeit zu sparen, kann man in diesem Fall auch das Quadrat $e^2$ des Abstands minimieren. Dann gilt für die Extrempunkte$$\frac {\partial e^2}{\partial x} = 4x^3 - 4x \to 0 \\ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3=-1 \\$$ Ein Blick in die Zeichnung hilft, um zu erkennen, dass es sich bei $x_1=0$ um ein lokales Maximum handelt. Dann bleiben die Punkte$$P_2(1|1), \quad P_3(-1|1)$$ als die Punkte mit dem kürzesten Abstand zu $Q$ übrig.

Geometrisch ist dies ebenso zu lösen.

$F$ ist der Brennpunkt der Parabel, $F'$ seine Projektion auf die Leitgerade der Parabel. Das Viereck $FP_0PQ$ ist ein Parallelogramm. Daraus folgt, dass $|PP_0| = |QF|$ ist. Man schlägt also einen Kreis mit Radius $|FF'|$ um $Q$, der die Y-Achse in $E$ schneidet und zeichnet eine Parallele zur X-Achse durch $E$, die die Parabel in $P$ und $P'$ schneidet. Dies sind die gesuchten Punkte.

Der gelbe Kreis ist der kleinste Kreis um $Q$, der die Parabel gerade noch berührt.

Im zweiten Fall, für $Q(3|0)$, ist die Rechnung$$e = \sqrt{(x-3)^2 + (x^2 - 0)^2} = \sqrt{x^4 + x^2 - 6x + 9} \\ \frac {\partial e^2}{\partial x} = 4x^3 + 2x - 6 \to 0$$Durch Raten findet man die Lösung $x_1=1$, dann bleibt nach einer Polynomdivision durch $(x-1)$ $$4x^2+4x + 3 = 0$$übrig. Diese Gleichung hat aber keine weitere Lösung im reellen.

Answer 2

d² = (x - 0)² + (x² - 1.5)² = x⁴ - 2·x² + 2.25

d²' = 4·x³ - 4·x = 0 --> x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 0

Das sollte jetzt aus symmetriegründen an den Stellen -1 und +1 sein.

d² = (x - 3)² + (x² - 0)² = x⁴ + x² - 6·x + 9

d²' = 4·x³ + 2·x - 6 = 0 --> x = 1

Rechne alles nach, bestimme dann auch noch die y-Koordinate und kontrolliere es anhand einer Skizze.

Answer 3

II.

Der minimale Abstand des Punktes  Q$(3|0)$ von der Parabel $y = x^2$ ist dort, wo ein Kreis um Q die Parabel berührt. Dort ist die Tangentensteigung identisch.

Ich wähle den Weg des impliziten Differenzierens:

Kreis: $k(x,y)=(x-3)^2+y^2-r^2$

Differenzieren nach x: $k_x(x,y)=2(x-3)$

Differenzieren nach y: $k_y(x,y)=2y$

$k'(x)=- \frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x-3}{y}=\frac{3-x}{y}$

Parabel: $p(x,y)=x^2-y$

$p_x(x,y)=2x$

$p_y(x,y)=-1$

$k'(x)=- \frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x-3}{y}=\frac{3-x}{y}$

$p'(x)=-\frac{2x}{-1}=2x$

$\frac{3-x}{y}=2x$

$y=\frac{3-x}{2x}$ 

Schnitt mit  $y = x^2$:

$x^2=\frac{3-x}{2x}$

$2 x^3=3-x$

$2 x^3+x-3=0$

$x=1$  $y=1$