Grenzwerte berechnen (x^2 -2^x)/(x^2-2^2) für x gegen 2 und (ln(ln(x))/(ln(x)) für x → ∞

Question

Grenzwerte berechnen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-2^{x}}{2^{x}-2^{2}} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (\ln x)}{\ln x} \)

Answer 1

a) Sowohl Nenner als auch Zähler streben gegen 0 für x→2. Damit ist Regel von L'Hospital anwendbar.

Ableitungen sind:   Zähler: 2x - ln (2) * 2^x

                                  Nenner: ln (2) * 2^x

Jetzt kann man x=2 einsetzen und erhält für den Grenzwert 1/ln(2) -1

b) Sowohl Nenner als auch Zähler streben gegen ∞ für x→∞. Damit ist Regel von L'Hospital anwendbar.

Ableitungen sind:   Zähler: 1/(x*ln(x))

                                  Nenner: 1/x

Somit entsteht ein Doppelbruch, den man auflösen kann in 1/ln(x). Dieser Term strebt gegen 0 für x→∞.

Damit ist der Grenzwert 0.