Bestimmen Sie über F5 = Z/5 die Inverse der Matrix ∈ (F5)4x4.

Question

Bestimmen Sie über  F₅ = Z/5 die Inverse von $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ ∈(F₅)^4x4.

Answer 1

Hallo,

im Prinzip genauso, wie sonst auch mit dem Gauß'schen Algorithmus. Nur dass man hier nicht mehr dividiert oder subtrahiert, sondern statt dessen mit mit der jeweiligen Inversen multipliziert bzw. addiert.

Wir stellen neben die eigentliche Matrix die Einheitsmatrix und beginnen damit zur 2.Zeile das drei- und zur 3.Zeile das zwei-fache der ersten Zeile zu addieren:$$\begin{array}{cccc|cccc}1& 2& 3& 0& 1& 0& 0& 0\\ 2& 3& 4& 0& 0& 1& 0& 0\\ 3& 4& 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\end{array} \\ \begin{array}{cccc|cccc}1& 2& 3& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 4& 3& 0& 3& 1& 0& 0\\ 0& 3& 1& 1& 2& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}$$Damit erscheinen in der ersten Spalte unter der 1.Zeile die 0'en. Um die zweite Zeile zu 'normieren' multipliziere ich sie mit der Inversen von 4 - also der 4, da $$4 \cdot 4 = 16 \equiv 1 \mod 5$$ dann addiere ich das dreifache der 2.Zeile zur ersten und das zweifache zur dritten, um dort in der 2.Spalte 0'en zu erhalten$$\begin{array}{cccc|cccc}1& 0& 4& 0& 2& 2& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0& 2& 4& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 3& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}$$da jetzt in der 3.Spalte 3.Zeile eine 0 steht, vertausche ich die beiden letzten Zeilen und addiere die neue dritte Zeile zur ersten und das dreifache zur zweiten Zeile$$\begin{array}{cccc|cccc}1& 0& 0& 1& 2& 2& 0& 1\\ 0& 1& 0& 3& 2& 4& 0& 3\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 3& 1& 0\end{array}$$schlußendlich das vierfache der letzten Zeile zur ersten und dritten und das doppelte zur zweiten addieren ... $$\begin{array}{cccc|cccc}1& 0& 0& 0& 1& 4& 4& 1\\ 0& 1& 0& 0& 4& 0& 2& 3\\ 0& 0& 1& 0& 4& 2& 4& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 3& 1& 0\end{array}$$... und links steht eine Einheitsmatrix und rechts die Inverse der Ausgangsmatrix in $\mathbb Z_5$.

Mache die Probe!